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12．3　复数的几何意义
一、 单项选择题
1 (2023德州期中)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－2，1)，则zi的虚部为(　　)
A. 2i B. 2
C. －2i D. －2
2 (2024连云港期中)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A. 3＋9i B. －9－i
C. 9＋i D. －18＋20i
3 (2023广州培英中学月考)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
4 (2024泉州期中)已知在复平面内，复数z1，z2对应的点为Z1(1，)，Z2(3，a)，若z1z2对应的点位于第一象限，|z2|的取值范围为(　　)
A. [3，2) B. [3，6)
C. (2，6) D. [9，36)
5 (2024郑州期中)复数z满足|z－5|＝|z－1|＝|z－i|，则|z|等于(　　)
A. B.
C. 3 D. 5
6 若复数z1＝3－i，z2＝－3－i，z3＝2＋i，z4＝a－i在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数a的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024驻马店月考)已知i为虚数单位，复数z1＝3－i，z2＝i，则下列说法中正确的是(　　)
A. |z1|＝|z2|
B. z1z2的共轭复数为1－3i
C. 的虚部为
D. 在复平面内，复数2z1－z2对应的点位于第二象限
8 (2023枣庄期中)设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若|z1－z2|＝0，则 1＝2
B. 若z1＝2，则 1＝z2
C. 若|z1|＝|z2|，则z11＝z22
D. 若|z1|＝|z2|，则z＝z
三、 填空题
9 复数(a－i)(3＋4i)在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数a＝________．
10 已知复数z＝a＋i(a∈R).若|z|<，则z＋i2在复平面内对应的点位于第______象限．
11 (2024莆田期中)设z为复数，若|z－2i|＝1，则|z|的最大值为________．
四、 解答题
12 (2023德州期中)已知复数z1＝1－ai，z2＝2a＋3i(a∈R).
(1) 若z1z2是纯虚数，求|z1＋z2|的值；
(2) 若复数 在复平面内对应的点在直线y＝5x上，求a的值．
13 (2024济宁期中)已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且|z|＝，z2的虚部为2.
(1) 求复数z；
(2) 设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求·的值．
12．3　复数的几何意义
1. D　因为复数z对应的点的坐标是(－2，1)，所以z＝－2＋i，所以zi＝(－2＋i)i＝－2i＋i2＝－1－2i，故zi的虚部为－2.
2. C　复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，因为＝－，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.
3. B　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1＋z2|＝，|z1－z2|＝，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则ac＋bd＝0，所以·＝0，所以⊥，则△AOB为直角三角形．
4. B　由题意，得z1＝1＋i，z2＝3＋ai，则z1z2＝(1＋i)(3＋ai)＝3－a＋(a＋3)i，由z1z2对应的点位于第一象限，得解得－35. C　由|z－5|＝|z－1|得复数z对应的点到点(5，0)和(1，0)距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由|z－1|＝|z－i|得复数z对应的点到点(1，0)和(0，1)距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝x上．因为直线x＝3和直线y＝x的交点为(3，3)，所以z＝3＋3i，所以|z|＝＝3.
6. D　由题意，得z1，z2，z3，z4在复平面内对应的点分别为Z1(3，－1)，Z2(－3，－1)，Z3(2，)，Z4(a，－)，由圆的性质可得，圆心O在Z1Z2的中垂线x＝0上，设O(0，t)，则＝，故t2＋2t＋10＝t2－2t＋10，解得t＝0，故O(0，0)，圆的半径r＝＝，故＝，故正实数a的值为.
7. BC　由题意，得z1＝3－i，z2＝i，对于A，因为|z1|＝＝，|z2|＝1，所以|z1|≠|z2|，故A错误；对于B，因为z1z2＝(3－i)i＝1＋3i，所以z1z2的共轭复数为1－3i，故B正确；对于C，因为＝＝＝－＋，所以的虚部为，故C正确；对于D，因为2z1－z2＝2(3－i)－i＝6－3i，所以复数2z1－z2对应的点为(6，－3)，位于第四象限，故D错误．故选BC.
8. ABC　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，所以 1＝2，故A正确；对于B，若z1＝2，根据共轭复数的定义可得 1＝z2，故B正确；对于C，因为z11＝|z1|2，z22＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，可得z11＝z22，故C正确；对于D，例如z1＝1，z2＝i，显然|z1|＝|z2|成立，但z＝1，z＝－1，即 z≠z，故D错误．故选ABC.
9. 7　由题意，得(a－i)(3＋4i)＝3a＋4ai－3i－4i2＝3a＋4＋(4a－3)i，在复平面内对应的点为(3a＋4，4a－3).因为该点在第一、三象限的角平分线上，所以3a＋4＝4a－3，解得a＝7.
10. 二　因为复数z＝a＋i(a∈R)，若|z|<，则<，解得－111. 3　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2i＝a＋(b－2)i，又|z－2i|＝1，所以a2＋(b－2)2＝1，所以(b－2)2≤1，即1≤b≤3，所以a2＋b2＝1－(b－2)2＋b2＝4b－3≤4×3－3＝9，所以|z|＝≤＝3.
12. (1) 因为z1z2＝(1－ai)(2a＋3i)＝5a＋(3－2a2)i，
要使z1z2是纯虚数，需满足5a＝0，3－2a2≠0，解得a＝0，所以z1＝1，z2＝3i，
所以|z1＋z2|＝|1＋3i|＝.
(2) 因为＝＝，
所以复数在复平面内对应的点为.
又因为复数在复平面内对应的点在直线 y＝5x上，
所以＝5×，
整理，得2a2＋5a＋3＝0，
解得a＝－1或a＝－，
故a的值为－1或－.
13. (1) 设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，z2＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi，|z|2＝a2＋b2，
由题意，得解得或
又因为复数z在复平面上对应点在第一象限，
所以z＝1＋i.
(2) 由题意，得z＝1＋i，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i，
所以对应的点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以＝(－1，1)，＝(0，－2)，·＝－2.

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