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期末专项培优：利用三角形全等测距离
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南昌期末）如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　）
A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm
2．（2024秋 高要区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　）
A．5m B．10m C．12m D．13m
3．（2024秋 中山区期末）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（2024秋 温州期末）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，若求AB的长，只需测量下列线段中的（　　）
A．A'B' B．OA' C．OB' D．OA
5．（2024秋 潍坊期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 中山市期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝8cm，EF＝10cm，则该容器壁的厚度为 　 　cm．
7．（2024秋 武汉期末）如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处用测角仪测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝19°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠BPA＝71°，量得点P到楼底的距离PB与木棍高度相等，都等于5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝23m，则高楼的高度是 　 　m．
8．（2024秋 瑶海区期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF＝ 　 　m．
9．（2024秋 歙县期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　 　．
10．（2024秋 东莞市校级期中）方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD＝15m．当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝9m．当船头从A处摆动到A′处时，A′B⊥AB，则点A′到BD的距离为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 钢城区期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A、B两点间的距离．如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米．请你根据以上数据求出A、B两点间的距离，并说明理由．
12．（2024秋 越城区校级期末）我区的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，就能保证伞圈D能沿着伞柄AP滑动．已知AE＝AF，DE＝DF．求证：点D必定在AP上．
13．（2024秋 阎良区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，达到C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点，量得CD的距离是35米．你知道在点A处小明与游艇的距离吗？请说出他这样做的理由．
14．（2024秋 麻章区期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
15．（2024秋 镇平县期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件．
期末专项培优：利用三角形全等测距离
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南昌期末）如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　）
A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】C
【分析】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm．
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
即：两堵木墙之间的距离为20cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
2．（2024秋 高要区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　）
A．5m B．10m C．12m D．13m
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】C
【分析】直接利用已知结合得出△ABC≌△EDC（ASA），进而得出A，B两点的距离．
【解答】解：∵BD＝DC，BD＝10m，
∴DC＝BC＝5m，
∵AB⊥BC，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝12m．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
3．（2024秋 中山区期末）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：在△COD和△BOA中，
，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴AB＝CD，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握SAS公理是解题的关键．
4．（2024秋 温州期末）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，若求AB的长，只需测量下列线段中的（　　）
A．A'B' B．OA' C．OB' D．OA
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】A
【分析】连接A′B′，可判定△AOB≌△A′OB′，根据全等三角形的性质可得AB＝A′B′．
【解答】解：连接A′B′，
∵两根钢条AA′、BB′的中点连在一起，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴AB＝A′B′，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
5．（2024秋 潍坊期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 中山市期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝8cm，EF＝10cm，则该容器壁的厚度为 　1　cm．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】1．
【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝8cm，
∵EF＝10cm，
∴圆柱形容器的壁厚是×（10﹣8）＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
7．（2024秋 武汉期末）如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍CD与高楼AB之间选定一点P，在点P处用测角仪测得木棍顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝19°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠BPA＝71°，量得点P到楼底的距离PB与木棍高度相等，都等于5m，量得木棍与高楼之间的距离DB＝23m，则高楼的高度是 　18　m．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】18．
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥BD，从而可得∠CDB＝∠ABD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠APB＝∠DCP＝71°，从而利用ASA证明△CDP≌△PBA，最后利用全等三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥BD，
∴∠CDB＝∠ABD＝90°，
∵∠CPD＝19°，
∴∠DCP＝90°﹣∠CPD＝71°，
∵∠APB＝71°，
∴∠APB＝∠DCP＝71°，
∵CD＝PB＝5m，
∴△CDP≌△PBA（ASA），
∴DP＝AB，
∵BD＝23m，
∴DP＝AB＝BD﹣PB＝23﹣5＝18（m），
∴高楼的高度是18m，
故答案为：18．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2024秋 瑶海区期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF＝ 　18　m．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据“HL“定理判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质求出AB，即可求出BF．
【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE＝8m，
∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
9．（2024秋 歙县期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　27米　．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】推理能力．
【答案】27米．
【分析】利用ASA定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：由题意得：CB＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝27米，
故答案为：27米．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（2024秋 东莞市校级期中）方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目．如图，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD＝15m．当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE＝9m．当船头从A处摆动到A′处时，A′B⊥AB，则点A′到BD的距离为 　6m　．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】6m．
【分析】先过点A′作A′F⊥BD于点F，再证明△FBA′≌△CAB，可得A′F＝BC，证明CD＝AE＝9m，从而可得答案．
【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F，
∵AC⊥BD，A′B⊥AB，
∴∠FBA′+∠FBA＝∠CAB+∠FBA，∠A′FB＝∠ACB＝90°，
∴∠FBA′＝∠CAB，
在△FBA′和△CAB中，
，
∴△FBA′≌△CAB（AAS），
∴A′F＝BC，
∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AE⊥DE，BD⊥DE，
∴CD＝AE＝9m，
∵BD＝15m，
∴BC＝BD﹣CD＝6m，
∴A′F＝6m，
即点A′到BD的距离为6m．
故答案为：6m．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，构造需要的全等三角形是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 钢城区期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A、B两点间的距离．如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米．请你根据以上数据求出A、B两点间的距离，并说明理由．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】A、B两点间的距离为30米．
【分析】根据AAS证明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出结果．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米，
答：A、B两点间的距离为30米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2024秋 越城区校级期末）我区的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，就能保证伞圈D能沿着伞柄AP滑动．已知AE＝AF，DE＝DF．求证：点D必定在AP上．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据确定全等的条件进行判定即可得解．
【解答】证明：在△AED和△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC，
∵伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，
∴点D必定在AP上．
【点评】本题考查全等三角形的应用，理解题意确定出全等三角形以及全等的条件是解题的关键．
13．（2024秋 阎良区期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，达到C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点，量得CD的距离是35米．你知道在点A处小明与游艇的距离吗？请说出他这样做的理由．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】在A点处小明与游艇的距离为35米，
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理进行解答．
【解答】解：在A点处小明与游艇的距离为35米，
理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD，
∵CD＝35米，
∴AS＝CD＝35米，
答：在A点处小明与游艇的距离为35米，
【点评】本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2024秋 麻章区期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【答案】石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由见解答部分．
【分析】首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得ME＝MF．
【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
15．（2024秋 镇平县期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）需要添加BE⊥AB．
【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．需要添加BE⊥AB．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
要是乙方案可行，需要添加过点B作直线BE，使BE⊥AB即可．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
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