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期末专项培优：两条直线的位置关系
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
2．（2024秋 增城区期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2024秋 洛阳期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…10条直线两两相交最多能有（　　）
A．28 B．36 C．45 D．55
4．（2024秋 酉阳县期末）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOD与∠COD互补
5．（2024秋 蜀山区期末）下列说法错误的是（　　）
A．35°37′的余角度数为64°23'
B．两点确定一条直线
C．同角的补角相等
D．两点之间线段的长度叫作两点之间的距离
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东台市期末）一个角为60°，则它的补角的大小为 　 　．
7．（2024秋 江都区期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，∠2＝25°，则∠1＝ 　 　°．
8．（2024秋 仓山区校级期末）如图，AO⊥OC，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，则∠2的度数是 　 　．
9．（2024秋 东海县期末）一个锐角的大小是50°30'，则它的余角的大小为　 　．
10．（2024秋 伊川县期末）大雁迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是54°44′8″，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小．则54°44′8″的补角是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 仪征市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角除了∠AOC，还有 　 　；
（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度数．
12．（2024秋 杨浦区期末）如图，射线OE、OS、OW、ON分别表示东、南、西、北方向，已知∠AOB＝90°．
（1）图中与∠AON互余的角是 　 　；
（2）图中与∠AON互补的角是 　 　；
（3）如果∠BOE＝118°，那么点A在点O的 　 　方向．
13．（2024秋 永川区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数；
（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数．
14．（2024秋 嵊州市期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 　 　；
（2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由；
（3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数．
15．（2024秋 桥西区期末）如图1所示，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，三角形MON的一条边OM在射线OB上且∠MON＝90°．
（1）如图1，∠BOC的度数为 　 　°，∠CON的度数为 　 　°；
（2）如图2，三角形MON绕点O逆时针旋转，当边OM恰好平分∠BOC时，求∠AON的度数；
（3）三角形MON由图1位置绕点O逆时针旋转120°的过程中，请直接写出∠COM与∠AON的数量关系．
期末专项培优：两条直线的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】D
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：A、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；
D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是垂线段最短，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
2．（2024秋 增城区期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】余角和补角．
【答案】A
【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．
【解答】解：A，∠α与∠β互余，故本选项正确；
B，∠α＝∠β，故本选项错误；
C，∠α＝∠β，故本选项错误；
D，∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
3．（2024秋 洛阳期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…10条直线两两相交最多能有（　　）
A．28 B．36 C．45 D．55
【考点】相交线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n（n﹣1）．
【解答】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
……
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝n（n﹣1），
∴10条直线相交有45个交点；
故选：C．
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有n（n﹣1）．
4．（2024秋 酉阳县期末）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOD与∠COD互补
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解．
【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°，
∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，
∴∠1＝∠2，故A选项正确；
∵∠AOE+∠1＝90°，
∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；
∵∠AOD+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确；
无法判断∠AOD与∠COD是否互余，D选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线等知识，掌握角的计算是关键．
5．（2024秋 蜀山区期末）下列说法错误的是（　　）
A．35°37′的余角度数为64°23'
B．两点确定一条直线
C．同角的补角相等
D．两点之间线段的长度叫作两点之间的距离
【考点】余角和补角；直线的性质：两点确定一条直线；两点间的距离；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】A
【分析】利用度分秒的换算、确定直线的条件、补角的性质及两点间的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、35°37′的余角度数为54°23'，A选项错误，符合题意；
B、两点确定一条直线，B选项正确，不符合题意；
C、同角的补角相等，C选项正确，不符合题意；
D、两点之间线段的长度叫作两点之间的距离，D选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角、直线的性质、两点间的距离及度分秒的换算的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东台市期末）一个角为60°，则它的补角的大小为 　120°　．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】120°．
【分析】根据补角的定义即可作答．
【解答】解：180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查余角和补角，熟记补角的定义是解题的关键．
7．（2024秋 江都区期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，∠2＝25°，则∠1＝ 　65　°．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】65．
【分析】根据余角的定义，即可作答．
【解答】解：∠1＝90°﹣∠2＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题主要考查余角和补角，熟记余角的定义是解题的关键．
8．（2024秋 仓山区校级期末）如图，AO⊥OC，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，则∠2的度数是 　105°　．
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】105°．
【分析】根据互余的性质求出∠COB的度数，根据互补的概念求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，
∴∠COB＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠COB＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了余角和补角的概念和性质，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余，若两个角的和等于180°，则这两个角互补是关键．
9．（2024秋 东海县期末）一个锐角的大小是50°30'，则它的余角的大小为　39°30′　．
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】39°30′
【分析】根据锐角的度数，求出它的余角即可．
【解答】解：∵一个锐角的大小是50°30'，
∴它的余角为90°﹣50°30'＝39°30′，
故答案为：39°30′．
【点评】本题考查了余角的定义的应用，熟练掌握余角的定义，角的度分秒运算是解题的关键．
10．（2024秋 伊川县期末）大雁迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向夹角是54°44′8″，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小．则54°44′8″的补角是　125°15′52″　．
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据补角的定义列式计算即可．
【解答】解：180°﹣54°44′8″＝179°59'60''﹣54°44'8''＝125°15'52''，
故答案为：125°15'52''．
【点评】本题考查了补角的定义和度、分、秒的互化，熟练掌握：1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 仪征市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角除了∠AOC，还有 　∠FOE、∠BOD　；
（2）若∠EOF＝35°，求∠AOD的度数．
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】（1）∠FOE、∠BOD；（2）∠AOD＝145°．
【分析】（1）根据余角的定义，即可作答；
（2）先求出∠AOC的度数，再根据平角的定义，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，∠FOE+∠AOF＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOF＝90°．
故答案为：∠FOE、∠BOD．
（2）由（1）可知，∠AOC＝∠EOF，
∵∠EOF＝35°，
∴∠AOC＝35°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣35°＝145°．
【点评】本题主要考查余角和补角、对顶角、邻补角及垂线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（2024秋 杨浦区期末）如图，射线OE、OS、OW、ON分别表示东、南、西、北方向，已知∠AOB＝90°．
（1）图中与∠AON互余的角是 　∠AOE，∠NOB　；
（2）图中与∠AON互补的角是 　∠AOS，∠BOE　；
（3）如果∠BOE＝118°，那么点A在点O的 　北偏东62°　方向．
【考点】余角和补角；方向角；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∠AOE，∠NOB；
（2）∠AOS，∠BOE；
（3）北偏东62°．
【分析】（1）根据已知易得：∠AOB＝∠NOE＝90°，从而可得∠AON+∠NOB＝90°，∠AON+∠AOE＝90°，再根据余角定义即可解答；
（2）根据已知易得：∠AOB＝∠WON＝90°，再根据等式的性质可得∠AON＝∠WOB，然后利用平角定义可得∠WOB+∠BOE＝180°，从而可得∠AON+∠BOE＝180°，再根据平角定义可得∠AON+∠AOS＝180°，最后根据补角定义即可解答；
（3）利用角的和差关系可得：∠AON＝62°，然后根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠NOE＝90°，
∴∠AON+∠NOB＝90°，∠AON+∠AOE＝90°，
∴图中与∠AON互余的角是∠AOE，∠NOB，
故答案为：∠AOE，∠NOB；
（2）∵∠AOB＝∠WON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BON＝∠WON﹣∠NOB，
∴∠AON＝∠WOB，
∵∠WOB+∠BOE＝180°，
∴∠AON+∠BOE＝180°，
∵∠AON+∠AOS＝180°，
∴图中与∠AON互补的角是∠AOS，∠BOE，
故答案为：∠AOS，∠BOE；
（3）∵∠AOB＝∠NOE＝90°，∠BOE＝118°，
∴∠AON＝∠AOB+∠NOE﹣∠BOE
＝90°+90°﹣118°
＝62°，
∴点A在点O的北偏东62°方向，
故答案为：北偏东62°．
【点评】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2024秋 永川区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数；
（2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数．
【考点】对顶角、邻补角；垂线；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）122°；
（2）50°．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠EOB，即可求出∠DOB的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案；
（2）设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，根据邻补角互补得出2x+7x＝180，求出x，即可求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，根据垂直定义求出∠EOB，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵∠EOD＝32°，
∴∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣58°＝122°；
（2）∵∠AOC：∠COB＝2：7，
∴设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，
∵∠AOC+∠COB＝180°，∴2x+7x＝180，
解得x＝20，
∴∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵∠EOB＝90°，
∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，垂线，角的计算，能熟记对顶角、邻补角的定义是解此题的关键．
14．（2024秋 嵊州市期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 　30°　；
（2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由；
（3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数．
【考点】余角和补角；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据∠COE＝∠DOE﹣∠BOC即可作答；
（2）由∠BOC＝60°，得∠AOC＝180°﹣60°＝120°，根据OE恰好平分∠AOC，有∠EOC＝120°÷2＝60°，即可得∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，即可得∠BOD＝∠COD，问题得解；
（3）由∠AOE＝5∠COD，设∠COD＝x，则∠AOE＝5x，分两种情况：第一种OD在∠AOC内，第二种OD在∠BOC内，列出方程，即可作答．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°，
故答案为：30°；
（2）OD平分∠BOC，理由如下：
∵直线AB上一点O，
∴∠AOB＝180°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵OE恰好平分∠AOC，
∴∠EOC＝120°÷2＝60°，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BOD＝∠COD，
∴OD平分∠BOC；
（3）∵∠AOE＝5∠COD，
∴设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
分两种情况：
①如图，OD在∠AOC内，
∵∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC＝180°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
∴6x＝30°，
∴x＝5，
∴∠COD＝5°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°+5°＝65°；
②如图，OD在∠BOC内，
∵∠AOE+∠BOD＝∠AOB﹣∠EOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AOE+∠BOC﹣∠COD＝90°，
∴5x+60°﹣x＝90°，
解得x＝7.5°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5°＝52.5°；
综上∠BOD＝65°或52.5°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
15．（2024秋 桥西区期末）如图1所示，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，三角形MON的一条边OM在射线OB上且∠MON＝90°．
（1）如图1，∠BOC的度数为 　120　°，∠CON的度数为 　150　°；
（2）如图2，三角形MON绕点O逆时针旋转，当边OM恰好平分∠BOC时，求∠AON的度数；
（3）三角形MON由图1位置绕点O逆时针旋转120°的过程中，请直接写出∠COM与∠AON的数量关系．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】（1）120，150；
（2）∠AON＝150°；
（3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°．
【分析】（1）根据邻补角的定义以及和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（3）根据旋转角度分两种情况进行解答，画出相应的图形，根据图形中角的和差关系即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+（180°﹣90°）＝150°，
故答案为：120，150；
（2）∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠COM∠BOC＝60°，
∴∠AON＝∠COM+∠MON＝60°+90°＝150°；
（3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°，理由如下：
当旋转角0°＜α≤90°时，如图2﹣1，
∵∠AOC+∠AON+∠MON+∠COM＝360°，即60°+∠AON+90°+∠COM＝360°，
∴∠AON+∠COM＝210°；
当旋转角90°＜α≤120°时，如图2﹣2，
∵∠AON＝∠AOC+∠COM+∠MON，即∠AON＝60°+∠COM+90°，
∴∠AON﹣∠COM＝150°．
【点评】本题考查余角与补角，掌握余角与补角，角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
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