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期末专项培优：频率的稳定性
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 成都期末）在一个不透明盒子中放有若干张质地和大小完全相同的卡片，其中5张分别印有“新”“都”“在”“这”“里”字样，小明随机抽取一张卡片并放回，多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，则盒子中卡片的张数很可能是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．（2024秋 源城区期末）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024秋 洛阳期末）袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在0.667左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2024秋 金水区校级期末）在一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的5个黑棋子和若干个白棋子，小明每次随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，多次试验后发现摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，则口袋中白色棋子的个数可能是（　　）
A．25 B．24 C．20 D．16
5．（2024秋 丽水期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 增城区期末）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 　 　．
7．（2024秋 石家庄期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是 　 　．
8．（2024秋 南川区期末）一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有　 　个黑球．
9．（2025 福田区一模）一个不透明的袋子中装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量反复实验发现，摸到黄球的频率约为0.3，由此推测这个袋中红球的个数为　 　．
10．（2024秋 市北区期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 　 　
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　 　（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
12．（2024秋 禅城区期末）某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题：
（1）估计完好的橙子的质量约有　 　千克；
（2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元）
13．（2024秋 商洛期末）一只不透明的盒子中装有10支黑笔和若干支红笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次从盒子中随机摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在0.4，请你估计盒子中红笔的数量．
14．（2024秋 温州期末）某县每天上学时间约有4000辆私家车接送，小温同学随机对100辆接送的私家车进行统计，结果如表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过2名学生的概率．
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐1名学生的私家车改为公共交通上学．若有的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
15．（2024秋 兴庆区校级期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如表所示：
每次打捞鱼数 50 100 200 300 500
每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 n
打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.095 0.103 0.100
根据表中数据，回答下列问题：
（1）表中m＝ 　 　，n＝ 　 　；
（2）随机从鱼糖中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 　 　（精确到0.1）；
（3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
期末专项培优：频率的稳定性
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 成都期末）在一个不透明盒子中放有若干张质地和大小完全相同的卡片，其中5张分别印有“新”“都”“在”“这”“里”字样，小明随机抽取一张卡片并放回，多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，则盒子中卡片的张数很可能是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据简单地概率计算公式，列式计算即可．
【解答】解：多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，设一共有x张卡片，
根据题意，得，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的根，
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键．
2．（2024秋 源城区期末）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3，则袋中黑球约有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用频率估算概率，总个数乘黑球的频率即可估算红球个数．
【解答】解：10×0.3＝3（个），
则袋中黑球约有3个，
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握其运算．
3．（2024秋 洛阳期末）袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在0.667左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【解答】解：设黑球有x个，
根据题意得：，
解得：x＝12，
经检验：x＝12是分式方程的解，
所以估计袋子里黑球数量大约为12个．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
4．（2024秋 金水区校级期末）在一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的5个黑棋子和若干个白棋子，小明每次随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，多次试验后发现摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，则口袋中白色棋子的个数可能是（　　）
A．25 B．24 C．20 D．16
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由摸到白球的频率稳定在80%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到白色棋子的频率稳定在80%附近，
∴口袋中得到白色球的概率为80%，
∴80%，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的根，
∴口袋中白色棋子的个数可能是20个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
5．（2024秋 丽水期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 增城区期末）在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 　10　．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到m＝4÷0.4，计算即可得解．
【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，
∴，
解得m＝10，
∴m约为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了由频率估计概率，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
7．（2024秋 石家庄期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是 　6个　．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得出摸到红球的概率为0.4，再列式计算即可，
【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴袋子中红球的个数可能是15×0.4＝6（个）．
故答案为：6个．
【点评】本题考查了利用频率估计随机事件的概率，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．（2024秋 南川区期末）一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有　24　个黑球．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】24．
【分析】设口袋中有16个白球和x个黑球，利用摸到黑球的频率稳定在0.6列出方程，求解即可．
【解答】解：摸到黑球的频率稳定在0.6，即摸到黑球的概率为0.6，
设口袋中有16个白球和x个黑球，
根据题意，得，
解得x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，
估计口袋中大约有24个黑球．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：大量反复试验下频率稳定值即概率．
9．（2025 福田区一模）一个不透明的袋子中装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量反复实验发现，摸到黄球的频率约为0.3，由此推测这个袋中红球的个数为　14个　．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】14个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是分式方程的解．
故答案为：14个．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
10．（2024秋 市北区期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 　5.4cm2　
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右
则点落入黑色部分的频率稳定在1﹣0.4＝0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为9×0.6＝5.4（cm2）．
故答案为：5.4cm2．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的a＝ 　0.59　，b＝ 　116　；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　0.6　（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．
【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（2024秋 禅城区期末）某水果店以2元/千克的成本购进2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题：
（1）估计完好的橙子的质量约有　1800　千克；
（2）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是1000元，每千克的售价应为多少元？（精确到0.1元）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）1800；
（2）2.8元．
【分析】（1）根据图形即可得出橙子损坏率，再用整体1减去橙子损坏率即可得出橙子完好率，然后乘以2000即可得出答案；
（2）设每千克的售价应为x元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为0.1，
所以橙子完好率估计值为1﹣0.1＝0.9，
所以估计完好的橙子的质量约有2000×0.9＝1800（千克）；
故答案为：1800；
（2）设每千克的售价应为x元，
根据题意得：1800x﹣2000×2＝1000，
解得：x≈2.8，
答：每千克的售价应大约为2.8元．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2024秋 商洛期末）一只不透明的盒子中装有10支黑笔和若干支红笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次从盒子中随机摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在0.4，请你估计盒子中红笔的数量．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】估计盒子中红笔的数量为15支．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设盒子中红笔的数量为a支，
∵通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在0.4，
∴随机从盒子中摸出一支笔，摸到黑笔的概率为0.4，
根据题意得：0.4，
解得：a＝15，
经检验：a＝15是原分式方程的解，
∴估计盒子中红笔的数量为15支．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
14．（2024秋 温州期末）某县每天上学时间约有4000辆私家车接送，小温同学随机对100辆接送的私家车进行统计，结果如表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过2名学生的概率．
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐1名学生的私家车改为公共交通上学．若有的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）800．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）4000乘以仅乘坐1名学生的私家车的占比的即得．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，．
故载有超过2名学生的概率为；
（2）由表格可知，仅乘坐1名学生的私家车的概率为，
∴（辆）．
故全县每天上学可减少800辆私家车接送．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算，样本估计总体是解题的关键．
15．（2024秋 兴庆区校级期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如表所示：
每次打捞鱼数 50 100 200 300 500
每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 n
打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.095 0.103 0.100
根据表中数据，回答下列问题：
（1）表中m＝ 　0.11　，n＝ 　50　；
（2）随机从鱼糖中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 　0.1　（精确到0.1）；
（3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）0.11，50；
（2）0.1；
（3）80000元．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可．
【解答】解：（1）m＝11÷100＝0.11，n＝500×0.100＝50；
故答案为：0.11，50；
（2）根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1；
故答案为：0.1；
（3）这个鱼塘中鱼约有200÷0.1＝2000（条），
2000×40＝80000（元），
答：这片鱼塘的价值大约是80000元．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
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