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期末专项培优：平行线的判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 仪征市期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180°
2．（2024秋 江都区期末）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠B+∠BAD＝180°；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．⑤∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024秋 扬州期末）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠4是内错角
4．（2024秋 兰州期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
5．（2024秋 化州市期末）如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 泉州期末）如图，与∠C构成同旁内角的有 　 　个．
7．（2024秋 海淀区校级期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　°时，木条a与b平行．
8．（2024秋 晋江市期末）如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，则∠DBH＝ 　 　°．
9．（2024秋 高邮市期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　 　．
10．（2024秋 徐汇区校级期末）如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 昆都仑区期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE．
13．（2024秋 新城区期末）如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c．
14．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
15．（2024春 南昌县期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE＝∠CFG．
求证：DE∥AC．
期末专项培优：平行线的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 仪征市期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠4，
∴a∥b，
故A不符合题意；
由∠2＝∠3，不能判定a∥b，
故B符合题意；
∵∠1+∠5＝180°，∠4+∠5＝180°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2024秋 江都区期末）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠B+∠BAD＝180°；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．⑤∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：①∠B+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故①符合题意；
②∠B+∠BAD＝180°，判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故②不符合题意；
③∠3＝∠4，由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，故③符合题意；
④∠B＝∠5，由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故④符合题意．
⑤∠1＝∠2，判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故⑤不符合题意，
∴其中能判定AB∥CD的个数是3个．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3．（2024秋 扬州期末）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠4是内错角
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故原说法正确，符合题意；
B、∠1与∠3是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，故原说法错误，不符合题意；
D、∠3与∠4是同旁内角，故原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了邻补角、同旁内角、同位角、内错角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．（2024秋 兰州期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为“同旁内角互补，两直线平行”，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠2＝∠3，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
5．（2024秋 化州市期末）如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5
C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠4＝∠5，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，无法得出l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠2+∠4＝180°，
∴l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 泉州期末）如图，与∠C构成同旁内角的有 　4　个．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】4．
【分析】根据同旁内角的定义结合具体的图形进行解答即可．
【解答】解：与∠C构成同旁内角的有∠B，∠A，∠CFD，∠CED，共4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同旁内角的定义是正确解答的关键．
7．（2024秋 海淀区校级期末）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　°时，木条a与b平行．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】70．
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解．
【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，
∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1，
∴a∥b，
故答案为：70．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
8．（2024秋 晋江市期末）如图是一款可折叠的晾衣架及其正面示意图，已知∠PDE＝115°，若要使GH∥DE，则∠DBH＝ 　115　°．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】115
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可得到答案．
【解答】解：当∠DBH＝∠PDE＝115°时，GH∥DE．
故答案为：115．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
9．（2024秋 高邮市期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　105°　．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】105°．
【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠2﹣∠1＝75°，即可得到∠4+∠3＝105°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠4+∠2＝180°，
∴AE∥BF，
∴∠1＝∠3，
∵∠2﹣∠1＝75°，
∴∠2﹣∠3＝75°，
∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°，
∴∠4+∠3＝105°．
故答案为：105°．
105°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3．
10．（2024秋 徐汇区校级期末）如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 　80°　．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】80°．
【分析】由于∠2＝100°，利用邻补角定义可求∠3，而∠3就是∠1的同位角．
【解答】解：∠2＝100°，如图，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝80°，
∴∠1的同位角∠3等于80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 昆都仑区期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由，
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1∠BPQ，∠HQP＝∠2∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD．
【解答】解：AB∥CD，QH∥PG．
理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
∴∠GPQ＝∠1∠BPQ，∠HQP＝∠2∠CQP，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，
∴QH∥PG，AB∥CD．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，解决问题的关键是运用：内错角相等，两直线平行．
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出DE∥BC，得到∠ADF＝∠B，因此∠ADF＝∠E，即可证明AB∥CE．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠B＝∠E，
∴∠ADF＝∠E，
∴AB∥CE．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是判定DE∥BC，得到∠ADF＝∠E．
13．（2024秋 新城区期末）如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c．
【考点】平行线的判定；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出a∥b，由补角的性质得到∠3＝∠4，由同位角相等，两直线平行推出b∥c，即可证明a∥c．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥b，
∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠3＝∠4，
∴b∥c，
∴a∥c．
【点评】本题考查平行线的判定，余角和补角，关键是判定a∥b，b∥c．
14．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB．
【考点】平行线的判定；余角和补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用∠COD＝90°，结合已知求得∠D＝∠BOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【解答】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，
∴，，
∴，
∴OC⊥OD；
（2）证明：∵∠COD＝90°，
∴∠1+∠BOD＝90°，
∵∠D与∠1互余，
∴∠1+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BOD，
∴ED∥AB．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
15．（2024春 南昌县期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE＝∠CFG．
求证：DE∥AC．
【考点】平行线的判定．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用垂直的定义得出∠C+∠CFG＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°，进而得出∠BDE＝∠C，再利用平行线的判定方法得出即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC且∠ADE＝∠CFG，
∴∠C+∠CFG＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠C，
∴DE∥AC．
【点评】此题主要考查了垂直的定义以及平行线的判定，得出∠BDE＝∠C是解题关键．
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