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期末专项培优：全等三角形的判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西岗区期末）如图，∠ADC＝∠AEB，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（　　）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AB＝AC
2．（2024秋 宿豫区期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（　　）
A．△ABC≌△CDE B．∠CAB＝∠DCE C．AB⊥CD D．E为BC中点
3．（2024秋 西湖区期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接AB，BC，CD，DA，则下列说法正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BCD B．∠BAD+∠BCD＝45°
C．∠ADC＝120° D．∠ABC﹣∠BCD＝90°
4．（2024秋 滨江区期末）如图，AC，BD相交于点O，下列不能判定△ABO≌△DCO的是（　　）
A．AO＝DO，BO＝CO B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，AC＝BD D．AC＝BD，∠ABC＝∠DCB
5．（2024秋 垫江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 福清市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝α，连接AC，在射线AB、CA上存在两动点E、F，满足AE＝CF，若∠ACE＝β，当BF+CE的值最小时，则∠CBF＝ 　 　．（用α，β表示）
7．（2024秋 宿迁期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC和AB边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝10，CH＝4，则BE＝ 　 　．
8．（2024秋 盐山县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M，N，P分别是边AB，AC，BC上的点，且BM＝CP，CN＝BP，∠A＝92°，则∠MPN的度数为 　 　°．
9．（2024秋 綦江区期末）如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠DAE＝ 　 　．
10．（2024秋 江汉区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 海伦市期末）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
12．（2024秋 巢湖市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点，连接AD，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接EC，若BD＝2，求EC长．
13．（2024秋 广陵区期末）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠C的度数．
14．（2024秋 西岗区期末）如图，B、C、F、E在同一条直线上，AC∥FD，AB∥DE，BC＝EF．
求证：AB＝DE．
15．（2024秋 盐城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不含端点），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
期末专项培优：全等三角形的判定
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 A D B D C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西岗区期末）如图，∠ADC＝∠AEB，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是（　　）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AB＝AC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A，添加∠B＝∠C时，不能判定△ABE≌△ACD，故选项A符合题意；
B、∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A，添加BE＝CD时，根据“AAS”判定△ABE≌△ACD，故选项B不符合题意；
C、如图，∵∠ADC＝∠AEB，∠A＝∠A，
∴∠C＝∠B，
添加BD＝CE时，根据“ASA”判定△BDF≌△CEF，得出DF＝EF，BF＝CF，
则BF+EF＝CF+DF，即BE＝CD，
再根据“AAS”判定判定△ABE≌△ACD，故选项C不符合题意；
D、∠A＝∠A，∠B＝∠C，添加AB＝AC时，根据“ASA”判定△ABE≌△ACD，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2024秋 宿豫区期末）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（　　）
A．△ABC≌△CDE B．∠CAB＝∠DCE C．AB⊥CD D．E为BC中点
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据HL可以证出Rt△ACB≌Rt△CED，然后即可说明各个选项中的条件是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°，
∴△ACB和△CED都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△CED中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△CED（HL），故选项A正确，不符合题意；
∴∠CAB＝∠DCE，故选项B正确，不符合题意；
∠B＝∠D，
∵∠DEB＝90°，∠EFB＝∠DFA，
∴∠B+∠EFB＝90°，
∴∠D+∠DFA＝90°，
∴AB⊥CD，故选项C正确，不符合题意；
无法证明CE和BE是否相等，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是证出△ACB≌△CED．
3．（2024秋 西湖区期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接AB，BC，CD，DA，则下列说法正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠BCD B．∠BAD+∠BCD＝45°
C．∠ADC＝120° D．∠ABC﹣∠BCD＝90°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】取格点E，连接BE，CE，利用网格线的性质利用SAS证明△ABD≌△CBE，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
【解答】解：如图，取格点E，连接BE，CE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠BDC＝90°+45°＝135°，
若∠BAD＝∠BCD，则∠BCE＝∠BCD，
∵∠BCE＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝CD（与题干矛盾），
故A选项错误；
∵∠BAD＝∠BCE，∠BCE+∠BCD＝45°，
∴∠BAD+∠BCD＝45°，
故B选项正确；
∠ADC＝90°+45°＝135°，
故C选项错误；
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD＝∠BCE，∠BCE＝∠DBC，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABC﹣∠BCD＜90°，
故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的对应边相等，对应角相等是解本题的关键．
4．（2024秋 滨江区期末）如图，AC，BD相交于点O，下列不能判定△ABO≌△DCO的是（　　）
A．AO＝DO，BO＝CO B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，AC＝BD D．AC＝BD，∠ABC＝∠DCB
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定和性质依次判断即可．
【解答】解：A、AO＝DO，BO＝CO，结合条件∠AOB＝∠DOC，可以利用SAS证明△ABO≌△DCO，故不符合题意；
B、∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABO＝∠DCO，
结合条件∠AOB＝∠DOC，可以利用AAS证明△ABO≌△DCO，故不符合题意；
C、∵BO＝CO，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC＝∠DCB
∴∠ABO＝∠DCO，
结合条件∠AOB＝∠DOC，可以利用ASA证明△ABO≌△DCO，故不符合题意；
D、无法证明△ABO≌△DCO，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
5．（2024秋 垫江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据ASA证明△AEH与△CEB全等，进而利用全等三角形的性质及线段的和差解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH＝∠HDC＝90°，
∵∠EHA＝∠DHC，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△AEH与△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴BE＝EH＝6，
∵CE＝10，
∴CH＝CE﹣EH＝10﹣6＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据ASA证明△AEH与△CEB全等解答．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 福清市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝α，连接AC，在射线AB、CA上存在两动点E、F，满足AE＝CF，若∠ACE＝β，当BF+CE的值最小时，则∠CBF＝ 　α﹣β　．（用α，β表示）
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】α﹣β．
【分析】在CD上截取CH＝CA，连接HF，BH，证明△EAC≌△FCH（SAS），则HF＝CE，当B、F、H三点共线时，BF+CE的值最小，然后利用角度和差即可求解．
【解答】解：如图，在CD上截取CH＝CA，连接HF，BH，
∵AB∥CD，
∴∠EAC＝∠FCH，
∵AE＝CF，
∴△EAC≌△FCH（SAS），
∴HF＝CE，
∴当B、F、H三点共线时，BF+CE的值最小，
如图，若E在AB上时，
∵△EAC≌△FCH，
∴∠FHC＝∠ACE＝β，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠FHC＝β，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝α﹣β，
若E在AB延长线上时，
同理可得：∠CBF＝α﹣β，
综上可知：∠CBF＝α﹣β，
故答案为：α﹣β．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别是BC和AB边上的高，AD与CE相交于H，若AE＝CE＝10，CH＝4，则BE＝ 　6　．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据同角的余角相等可得∠EAH＝∠ECB，然后利用AAS即可证出△EAH≌△ECB，从而得出BE＝EH，即可得出结论．
【解答】解：∵AD和CE分别是BC边和AB边上的高，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH＝∠CEB＝90°，∠EAH+∠B＝90°，∠ECB+∠B＝90°，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△EAH和△ECB中，
，
∴△EAH≌△ECB（AAS），
∴BE＝EH，
∵AE＝CE＝10，CH＝4，
∴BE＝EH＝CE﹣CH＝10﹣4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握利用AAS判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
8．（2024秋 盐山县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M，N，P分别是边AB，AC，BC上的点，且BM＝CP，CN＝BP，∠A＝92°，则∠MPN的度数为 　44　°．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠B，∠C的度数，证明△BMP≌△CPN（SAS），根据全等三角形的性质可得∠BMP＝∠CPN，从而可求出∠BPM+∠CPN的度数，进而求出∠MPN的度数．
【解答】解：在△BMP和△CPN中，
，
∴△BMP≌△CPN（SAS），
∴∠BMP＝∠CPN，
∵∠A＝92°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝44°，
∴∠BMP+∠BPM＝136°，
∴∠BPM+∠CPN＝136°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠BPM+∠CPN）＝44°，
故答案为：44．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2024秋 綦江区期末）如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠DAE＝ 　76°　．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】76°．
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD＝∠2＝30°，利用三角形的外角性质得到∠ADE＝52°，最后利用等腰三角形的性质即可得出∠DAE．
【解答】解：由题意可得：∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠ADE＝∠1+∠ABD＝52°，
由题意可得：∠AED＝∠ADE＝52°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝180°﹣2×52°＝180°﹣114°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2024秋 江汉区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是　2.3　．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】运算能力．
【答案】2.3．
【分析】延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE，证明△BDE≌△CDA，得到∠E＝∠MAN，BE＝AC，结合∠AMN＝∠MAN，∠AMN＝∠BME，可得∠E＝∠BME，推出BE＝BM＝AC＝6，即可求解．
【解答】解：如图，延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴∠E＝∠MAN，BE＝AC，
∵∠AMN＝∠MAN，
∴∠E＝∠AMN，
∵∠AMN＝∠BME，
∴∠E＝∠BME，
∴BE＝BM＝AC＝6，
∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3.7＝2.3，
故答案为：2.3．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线定义，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 海伦市期末）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，
（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；
（2）位置关系是AD⊥GA，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
12．（2024秋 巢湖市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点，连接AD，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC，连接EC，若BD＝2，求EC长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】EC的长是2．
【分析】由∠DAE＝∠BAC，推导出∠CAE＝∠BAD，而AE＝AD，AC＝AB，即可根据“SAS”证明△CAE≌△BAD，得EC＝BD＝2．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴EC＝BD＝2，
∴EC的长是2．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠CAE＝∠BAD，进而证明△CAE≌△BAD是解题的关键．
13．（2024秋 广陵区期末）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠C的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）70°．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEC≌△BED；
（2）由全等三角形的性质可得DE＝EC，即可求∠C的度数．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
∴∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEC≌△BED
∴DE＝EC，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠C＝70°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
14．（2024秋 西岗区期末）如图，B、C、F、E在同一条直线上，AC∥FD，AB∥DE，BC＝EF．
求证：AB＝DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据平行线的性质、等角的补角相等求出∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，利用ASA证明△ABC和≌△DEF，再根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．
【解答】证明：∵AC∥FD，AB∥DE，
∴∠ACF＝∠DFC，∠B＝∠E，
∴180°﹣∠ACF＝180°﹣∠DFC，
即∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC和≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．（2024秋 盐城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不含端点），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）可以，∠BDA＝115°或100°．
【分析】（1）利用三角形外角的性质得∠EDC＝∠BAD，再利用ASA即可证明△ABD≌△DCE；
（2）分AD＝AE，DA＝DE，EA＝ED三种情形，分别利用等腰三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）当线段DC的长为2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵CD＝2，AB＝2，
∴CD＝AB，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（2）可以，
当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝50°，
此时点E与C重合，点D与B重合，不符合题意，故舍去；
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝65°+50°＝115°；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠EDA＝50°，∠BDA＝∠DAC+∠C＝50°+50°＝100°，
综上：∠BDA＝115°或100°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
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