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期末专项培优：认识三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
2．（2024秋 拱墅区期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
3．（2024秋 新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．（2024秋 丽水期末）在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5．（2024秋 南海区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝40°，AD为边BC上的高，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，则∠AFE的大小为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．56°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新兴县期末）若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 　 　．
7．（2024秋 阜宁县期末）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠ACB＝75°15′，则∠ACD＝ 　 　°．
8．（2024秋 西湖区期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 　 　.（请写出一个符合条件的值）
9．（2024秋 东台市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．
10．（2024秋 包河区期末）在△ABC中，AD⊥BC交线段BC于D，∠ABC＝32°，∠CAD＝21°，则∠BAC＝ 　 　度．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东莞市期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数．
12．（2024秋 仓山区期末）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
13．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O．
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADC的度数．
14．（2024秋 东莞市期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
15．（2024秋 垫江县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，CF是角平分线，AE与CF交于点G．
（1）若∠BAC＝60°，∠B＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝50°，求∠EGF的度数．
期末专项培优：认识三角形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B B B D A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、l+2＝3，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＞5，能构成三角形，故B符合题意；
C、2+4＝6，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+3＜8，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．（2024秋 拱墅区期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、7+5＜14，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、7+14＞18，能构成三角形，故B符合题意；
C、7+14＝21，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、7+14＜23，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．（2024秋 新兴县期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【考点】三角形内角和定理．
【专题】一次方程（组）及应用；三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题．
【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+7x＝180°．
∴x＝（）°．
∴7x＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及解一元一次方程，熟练掌握三角形内角和定理以及解一元一次方程是解决本题的关键．
4．（2024秋 丽水期末）在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和是180°，求∠B的度数，并作出选择．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握“三角形的内角和是180°”．
5．（2024秋 南海区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝40°，AD为边BC上的高，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，则∠AFE的大小为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．56°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先求出∠ACB的度数，再根据角平分线求出∠BCE的度数，根据高线，求出∠CFD的度数，由此得出∠AFE的大小．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∠BAC＝70°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE，
∵AD为边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠CFD＝90°﹣∠BCE＝55°，
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新兴县期末）若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 　5cm＜c＜11cm　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】5cm＜c＜11cm．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出答案．
【解答】解：因为△ABC的两边长为3cm，8cm，
所以8cm﹣3cm＜c＜8cm+3cm，
即5cm＜c＜11cm．
故答案为：5cm＜c＜11cm．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
7．（2024秋 阜宁县期末）如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠ACB＝75°15′，则∠ACD＝ 　104.75　°．
【考点】三角形内角和定理；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】104.75．
【分析】根据平角的定义和角的计算方法，可以计算出∠ACD的度数．
【解答】解：∠ACB＝75°15′，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣75°15′＝104°45′＝104.75°，
故答案为：104.75．
【点评】本题考查角的计算、平角的定义，解答本题的关键是明确角的计算方法．
8．（2024秋 西湖区期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 　3（答案不唯一）　.（请写出一个符合条件的值）
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边是x，得到2＜x＜6，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边是x，
由三角形三边关系定理得：4﹣2＜x＜4+2，
∴2＜x＜6，
∴三角形第三边可以是3（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
9．（2024秋 东台市期末）如图，将一条对边互相平行的纸带与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　50°　．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】50°．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
10．（2024秋 包河区期末）在△ABC中，AD⊥BC交线段BC于D，∠ABC＝32°，∠CAD＝21°，则∠BAC＝ 　79　度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】79．
【分析】根据垂直定义、三角形内角和定理求出∠BAD＝58°，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝32°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣32°＝58°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝58°+21°＝79°，
故答案为：79．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 东莞市期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】130°．
【分析】利用三角形内角和定理分别求出∠A和∠ABE的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°．
∵BE和CD是△ABC的两条高线，
∴∠AEB＝∠BDO＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（2024秋 仓山区期末）如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，延长BA至点E，连接EC．设∠B＝α，∠E＝β，若∠BAC＝α+2β，求证：CE平分∠ACD．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先利用∠BAC为△ACE的一个外角得到∠BAC＝β+∠ACE，由于∠BAC＝α+2β，则可得到∠ACE＝α+β，接着利用∠DCE为△BCE的一个外角得到∠DCE＝α+β，所以∠ACE＝∠DCE，从而得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠E+∠ACE＝β+∠ACE，
∵∠BAC＝α+2β，
∴∠ACE+β＝α+2β，
∴∠ACE＝α+β，
∵∠DCE＝∠B+∠E＝α+β，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴CE平分∠ACD．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和是180°进行角度的计算是解决问题的关键．也考查了三角形外角性质．
13．（2024秋 合川区期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O．
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）30°；
（2）110°．
【分析】（1）利用BE是高，可得∠BEA＝90°，求出∠DAE＝30°，再根据角平分线的定义求出∠BAE，即可求出∠ABE的度数；
（2）利用BE是高，可得∠BEC＝90°，得出∠C＝40°，根据角平分线的定义求出∠CAD，再利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：（1）由条件可知∠BEA＝90°，
又∵∠AOE＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AOE＝30°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝2∠DAE＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝30°
∴∠ABE的度数为30°．
（2）由条件可知∠BEC＝90°，
又∵∠CBE＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠CBE＝40°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝110°．
∴∠ADC的度数为110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
14．（2024秋 东莞市期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】54°．
【分析】根据高的定义求得∠ADB＝∠BDC＝90°，结合∠A＝70°可求出∠ABD的度数，然后根据三角形外角的性质求出∠DCE的度数，结合角平分线的定义求出∠DCB，可得∠DBC的度数，进而求出∠ABC的度数．
【解答】解：∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠A＝20°，
∵∠BEC＝∠BDC+∠DCE，且∠BEC＝118°，∠BDC＝90°，
∴∠DCE＝28°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB＝2∠DCE＝56°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCB＝34°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝54°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
15．（2024秋 垫江县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，CF是角平分线，AE与CF交于点G．
（1）若∠BAC＝60°，∠B＝50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝50°，求∠EGF的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）∠DAE＝10°；
（2）∠EGF＝115°．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠CAE的度数，由直角三角形的性质得出∠CAD的度数，进而可得出结论；
（2）先由角平分线的定义得出∠CAE与∠ACF的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（60°+50°）＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠CAD＝90°﹣70°＝20°．
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°；
（2）∵AE，CF是△ABC的角平分线，
∴．
∴
在△ACG中，∠AGC＝180°﹣（∠CAE+∠ACF）＝115°．
∴∠EGF＝115°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
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