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期末专项培优：整式的乘法
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知a、b是常数，若化简（x﹣a）（2x2+bx﹣4）的结果不含x的二次项，则12a﹣6b﹣1的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣13
2．（2024秋 长沙期末）设M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣2）（x﹣5），则M与N的关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
3．（2024秋 思明区校级期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起；制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（　　）
A．纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x）
B．纸盒的表面积为ab﹣4x2
C．纸盒的底面积为ab﹣2（a+b）x﹣4x2
D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a＝b＝3x
4．（2024秋 东西湖区期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．3x4﹣x2＝2x2 B．2x4 3x2＝6x8
C．x2 x3＝x5 D．（x3）2＝x9
5．（2024秋 昭阳区期末）下列各等式中，正确的是（　　）
A．（﹣2a）3＝8a3 B．（﹣a）（2﹣a）＝﹣2a﹣a2
C．a2×a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 永川区期末）已知n＝3，则代数式n（2﹣n）的值为 　 　．
7．（2024秋 庄浪县期末）如果（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项，则m的值是 　 　．
8．（2024秋 长乐区期末）若（x+4）（x+9）＝x2+mx+36，则m的值是 　 　．
9．（2024秋 洛宁县期末）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　．
10．（2024秋 忠县期末）如果整式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）的计算结果中不含x2项和x项，那么ab＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大理州期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）求该小区绿化的总面积；
（2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？
12．（2024秋 宝山区校级期中）计算：．
13．（2024秋 闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）试求出式子中a，b的值；
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
14．（2024秋 南昌县期末）计算：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）；
（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．
15．（2024秋 达日县期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2．
期末专项培优：整式的乘法
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B． A C C D
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知a、b是常数，若化简（x﹣a）（2x2+bx﹣4）的结果不含x的二次项，则12a﹣6b﹣1的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣13
【考点】多项式乘多项式；代数式求值；合并同类项．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】先把多项式合并，然后令x的二次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x﹣a）（2x2+bx﹣4）＝2x3+（﹣2a+b）x2+（﹣ab﹣4）x+4a不含x的二次项，
∴﹣2a+b＝0，
解得b＝2a，
∴12a﹣6b﹣1＝12a﹣6×2a﹣1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
2．（2024秋 长沙期末）设M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣2）（x﹣5），则M与N的关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【考点】多项式乘多项式；整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】由于M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12，N＝（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，可以通过比较M与N的差得出结果．
【解答】解：∵M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12，N＝（x﹣2）（x﹣5）＝x2﹣7x+10，
M﹣N＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10）＝2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
3．（2024秋 思明区校级期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起；制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（　　）
A．纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x）
B．纸盒的表面积为ab﹣4x2
C．纸盒的底面积为ab﹣2（a+b）x﹣4x2
D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a＝b＝3x
【考点】多项式乘多项式；认识立体图形．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】A．观察图形，找出纸盒底面的长，宽，高，然后根据体积公式进行计算，再判断即可；
B．根据纸盒的表面积＝边长为a，宽为b的长方形的面积﹣4个边长为x的正方形的面积列出代数式，进行判断即可；
C．观察图形，找出纸盒底面的长，宽，然后根据面积公式进行计算，再判断即可；
D．根据制成的纸盒是正方体，得到a﹣2x＝b﹣2x＝x，通过计算进行判断即可．
【解答】解：A．观察图形可知：纸盒的底面长为a﹣2x，宽为b﹣2x，高为x，∴纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x），∴此选项的说法正确，故不符合题意；
B．观察图形可知：纸盒的表面积为ab﹣4x2，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
C．观察图形可知：纸盒的底面长为a﹣2x，宽为b﹣2x，∴纸盒的底面积为（a﹣2x）（b﹣2x）＝ab﹣2ax﹣2bx+4x2，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意；
D．∵若制成的纸盒是正方体，则a﹣2x＝b﹣2x＝x，∴a＝b＝3x，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式和认识立体图形，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
4．（2024秋 东西湖区期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．3x4﹣x2＝2x2 B．2x4 3x2＝6x8
C．x2 x3＝x5 D．（x3）2＝x9
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则逐项计算判断即可．
【解答】解：A、3x4与﹣x2不能合并，故此选项不符合题意；
B、2x4 3x2＝6x6，故此选项不符合题意；
C、x2 x3＝x5，故此选项符合题意；
D、（x3）2＝x6，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
5．（2024秋 昭阳区期末）下列各等式中，正确的是（　　）
A．（﹣2a）3＝8a3 B．（﹣a）（2﹣a）＝﹣2a﹣a2
C．a2×a3＝a6 D．a5÷a3＝a2
【考点】单项式乘多项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据积的乘方法则、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则、同底数幂相除法则逐项判断即可．
【解答】解：A．计算结果是﹣8a3，故原计算错误，不符合题意；
B．计算结果是﹣2a+a2，故原计算错误，不符合题意；
C．计算结果是a5，故原计算错误，不符合题意；
D．a5÷a3＝a2，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方法则、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则、同底数幂相除法则是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 永川区期末）已知n＝3，则代数式n（2﹣n）的值为 　﹣3　．
【考点】单项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当n＝3时，原式＝3×（2﹣3）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
7．（2024秋 庄浪县期末）如果（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项，则m的值是 　6　．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原式展开，可得2x2﹣6x+mx﹣3m，根据题意，可得﹣6x+mx＝0，即可解答．
【解答】解：（2x+m）（x﹣3）＝2x2﹣6x+mx﹣3m，
∵（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项，
∴﹣6x+mx＝（m﹣6）x＝0，
∴m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，正确地计算出展开后的结果是解题的关键．
8．（2024秋 长乐区期末）若（x+4）（x+9）＝x2+mx+36，则m的值是 　13　．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】13．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x+4）（x+9），再根据（x+4）（x+9）＝x2+mx+36，求出m即可．
【解答】解：（x+4）（x+9）
＝x2+9x+4x+36
＝x2+13x+36，
∵（x+4）（x+9）＝x2+mx+36，
∴m＝13，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
9．（2024秋 洛宁县期末）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　．
【考点】多项式乘多项式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可．
【解答】解：（a﹣b）（a2+ab+b2）
＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3
＝a3﹣b3，
故答案为：a3﹣b3．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能熟记法则的内容是解此题的关键，注意：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．
10．（2024秋 忠县期末）如果整式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）的计算结果中不含x2项和x项，那么ab＝　﹣2　．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】先把多项式合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）＝abx3+（﹣2a﹣b）x2+（b+2）x﹣2不含x2项和x项，
∴﹣2a﹣b＝0且b+2＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，
∴ab＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大理州期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）求该小区绿化的总面积；
（2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米；
（2）完成绿化共需要23000元．
【分析】（1）绿化的总面积＝矩形面积﹣4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案；
（2）将a与b的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元/平方米，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b）﹣4b2
＝6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣4b2
＝6a2﹣5ab﹣10b2，
答：该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米；
（2）当a＝10，b＝2时，
原式＝6×102﹣5×10×2﹣10×22＝460，
∴50×460＝23000（元）．
答：完成绿化共需要23000元．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键．
12．（2024秋 宝山区校级期中）计算：．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】先计算积的乘方和幂的乘方运算，再计算单项式乘单项式，最后再合并同类项即可求解．
【解答】解：
＝x7y5﹣x7y5
＝0
【点评】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握单项式乘以单项式运算法则，积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．
13．（2024秋 闵行区校级期中）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）试求出式子中a，b的值；
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
【考点】多项式乘多项式；整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣5，b＝﹣2；（2）6x2﹣19x+10．
【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值；
（2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．
【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+（a+2b）x+ab
＝2x2﹣9x+10，
所以2b﹣3a＝11，①
a+2b＝﹣9．②
由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11，
所以a＝﹣5．
所以2b＝﹣4．
所以b＝﹣2．
（2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出a与b的值是解题的关键．
14．（2024秋 南昌县期末）计算：
（1）（x﹣1）（x2+x+1）；
（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．
【考点】多项式乘多项式；单项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x3﹣1；
（2）2x﹣6．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则计算乘法，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1
＝x3+x2﹣x2+x﹣x﹣1
＝x3﹣1；
（2）原式＝x2﹣2x+3x﹣6﹣x2+x
＝x2﹣x2﹣2x+x+3x﹣6
＝2x﹣6．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则．
15．（2024秋 达日县期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a2+4ab）平方米，（3ab+12b2）平方米；
（2）216平方米．
【分析】（1）观察图形可知：小路是边长为a米，这条边上的高为（a+4b）米的平行四边形，利用平行四边形的面积公式，列出算式进行计算，再利用平移的方法可知，阴影部分通过平移形成一个长为（a+4b）米，宽为（a+3b﹣a）米的长方形，根据长方形面积公式，列出算式进行计算；
（2）把a＝2，b＝4代入种植区的总面积S2进行计算即可．
【解答】解：（1）S1＝a（a+4b）
＝（a2+4ab）平方米，
S2＝（a+3b﹣a）（a+4b）
＝3b（a+4b）
＝（3ab+12b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝4时，
S2＝3×2×4+12×42
＝3×2×4+12×16
＝24+192
＝216（平方米），
答：此时种植区的总面积S2为216平方米．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是识别图形，理解图形的变化特征，列出正确的算式．
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