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期末专项培优：轴对称及简单的轴对称图形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 伊川县期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．18
2．（2024秋 海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8 B．10 C．4或8 D．6或10
3．（2024秋 锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）
A．22° B．23° C．24° D．25°
4．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）
A．52° B．63° C．120° D．130°
5．（2024秋 长沙期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝　 　；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝　 　．
7．（2024秋 江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　 　．
8．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　 　度．
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，若AB＝6，△ABD的周长为18，则BC的长为 　 　．
10．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2025 泗洪县一模）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
12．（2024秋 长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．
13．（2024秋 宿迁期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
14．（2024秋 钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．
（1）求△EBC的周长；
（2）求∠EBC的度数．
15．（2024秋 江都区期末）如图，AB＝AC＝AD．
（1）若AD∥BC，
①如果∠C＝80°，那么∠D的度数为 　 　°；
②猜想∠C和∠D的数量关系并证明；
（2）如果∠C＝2∠D，AD与BC有什么位置关系？请证明你的结论．
期末专项培优：轴对称及简单的轴对称图形
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C C A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 伊川县期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E，若AE＝3，△BCD的周长为8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．11 C．14 D．18
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AB＝2AE＝6，DA＝DB，
∵△BCD的周长为8，
∴BD+CD+BC＝8，
∴AD+CD+BC＝8，
∴AC+BC＝8，
∵AB＝6，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+8＝14，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（2024秋 海曙区期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8 B．10 C．4或8 D．6或10
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
3．（2024秋 锦江区校级期末）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE＝48°，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E，由三角形的外角性质求出∠E∠DFE＝24°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠BAE＝48°，
∵CF＝EF，
∴∠C＝∠E，
∵∠C+∠E＝∠DFE，
∴∠E∠DFE＝24°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝∠BAE，由等腰三角形的性质得到∠C＝∠E．
4．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝52°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（　　）
A．52° B．63° C．120° D．130°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出∠B＝∠ACB＝64°，再根据三角形外角的性质得出∠APC的范围，进而得出答案．
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠A＝52°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣52°）÷2＝64°．
∵∠APC是△BCP的外角，
∴∠APC＝∠B+∠BCP，
∴64°≤∠APC＜128°，
∴∠APC度数可能是120°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等．
5．（2024秋 长沙期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE，得到△ACE的周长＝BC+AC＝12，即可求出BC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝12，
∵AC＝5，
∴BC＝7．
故选：A．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海曙区期末）如图△ABP，∠B＝45°，∠APB＝120°，延长BP至C，连接AC．
（1）若PC＝PA，则∠C＝　60°　；
（2）若PC＝2PB，则∠C＝　75°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据平角的定义求出∠APC＝60°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，求出∠PCE＝30°得到PC＝2PE，可以推出PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝30°，证明∠EBC＝∠ECB，得到CE＝BE，证明∠ABE＝∠BAE＝15°，得到BE＝AE，即可推出AE＝CE，则∠ACE＝∠CAE＝45°，从而得到∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°．
【解答】解：（1）∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∵PC＝PA，
∴，
故答案为：60°；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AP于E，连接BE，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC＝180°﹣∠APB＝60°，
∴∠PCE＝180°﹣∠PEC﹣∠EPC＝30°，
∴PC＝2PE，
∵PC＝2PB，
∴PB＝PE，
∴，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBP＝15°，∠EBC＝∠ECB，
∴CE＝BE，∠BAE＝∠BEP﹣∠ABE＝15°，
∴∠ABE＝∠BAE＝15°，
∴BE＝AE，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（2024秋 江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 　15　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】15．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∵底边BC的长为12，
∵6+6＝12，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，
∵腰长AB＝AC＝6，
∴底边BC的长为3，
∴△ABC的周长为：6+6+3＝15，
综上所述：△ABC的周长为15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
8．（2024秋 丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　12　度．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据题意可判断出AD为角平分线，所以∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE．
【解答】解：在△ABC中，D为BC中点，AB＝AC，∠BAD＝24°，BD＝DC，
∴AD为角平分线，AD⊥BC；
又∵AD＝AE，∠DAE＝24°，
∴∠ADE＝78°
又∵AD⊥BC，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣78°＝12°．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的中线、高和垂线三线合一的性质，以及角的度量运算．得到AD⊥BC是正确解答本题的关键．
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，若AB＝6，△ABD的周长为18，则BC的长为 　12　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】12．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD，得到△ABD的周长＝AB+BC＝18，即可得到BC＝12．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18，
∵AB＝6，
∴BC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝AD．
10．（2024秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB上，AC＝AE，BC＝BD，若∠DCE＝20°，则∠ACB的度数为　140°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】140°．
【分析】根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．
【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD，
∴∠AEC＝∠ACE，∠BDC＝∠BCD，
设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，
∵∠DCE＝180°﹣（∠AEC+∠BDC）＝180°﹣（x°+y°）＝20°，
∴x°+y°＝160°，
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，
∴∠ACB+（180°﹣2x°）+（180°﹣2y°）＝∠ACB+360°﹣2（x°+y°）＝∠ACB+360°﹣2×160°＝180°，
∴∠ACB＝140°，
故答案为：140°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的性质可以解决三角形的边角相等问题，特别注意其中的转化意识对学生分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2025 泗洪县一模）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知EB＝EC．
【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
12．（2024秋 长沙期末）已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO＝CO，PO＝QO，根据等式的性质，可得答案．
【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．
∵AB＝AC，AO⊥BC
∴BO＝CO
∵AP＝AQ，AO⊥BC
∴PO＝QO
∴BO﹣PO＝CO﹣QO
∴BP＝CQ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．
13．（2024秋 宿迁期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
（2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长．
【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出AP＝PB，AQ＝CQ，正确的进行等量代换．
14．（2024秋 钢城区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，∠A＝40°，ED垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E，连接BE．
（1）求△EBC的周长；
（2）求∠EBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）16；（2）30°．
【分析】（1）由于 ED 垂直平分AB，所以AE＝BE，三角形EBC的周长等于BE+EC+BC．由于AE ＝ BE，周长也可以表示为 AE+EC+BC，即 AC+BC．已知AC＝10，BC＝ 6，所以周长为 10+6＝16．
（2）根据线段的垂直平分线的性质写出答案即可．
【解答】解：（1）∵ED 垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△EBC的周长＝BE+EC+BC
＝ AE+EC+BC
＝ AC+BC
＝ 10+6
＝ 16；
（2）∵ED 垂直平分 AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝40°，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（2024秋 江都区期末）如图，AB＝AC＝AD．
（1）若AD∥BC，
①如果∠C＝80°，那么∠D的度数为 　40　°；
②猜想∠C和∠D的数量关系并证明；
（2）如果∠C＝2∠D，AD与BC有什么位置关系？请证明你的结论．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）①40；②∠C＝2∠D，理由见解答过程；
（2）AD∥BC，理由见解答过程．
【分析】（1）①由于AD∥BC，利用平行线性质可得∠D＝∠DBC，又AB＝AD，可得∠D＝∠ABD，易求∠ABC＝2∠D，又AB＝AC，可知∠ABC＝∠C，等量代换可得∠C＝2∠D，据此代入求解即可；
②同理①，根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解即可；
（2）AD∥BC．由于AB＝AC，可得∠ABC＝∠C＝2∠D，而AB＝AD，那么有∠ABD＝∠D，从而有∠DBC＝∠D，那么易证AD∥BC．
【解答】解：（1）①解：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
又∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠D，
∵∠C＝80°，
∴∠D＝40°，
故答案为：40；
②∠C＝2∠D，理由如下：
∵AD∥BC，∠C＝2∠D，
∴∠D＝∠DBC，
又∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠D；
（2）如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠D，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∴∠DBC＝∠D，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，熟记本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
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