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期末专项培优：轴对称及其性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 盐城期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A．山 B．河 C．无 D．恙
3．（2024秋 裕华区校级期末）如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　）
A．80° B．70° C．60° D．无法确定
4．（2024秋 东莞市期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　）
A．小睿折出的是BC边上的中线
B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高
D．上述说法都错误
5．（2024秋 桥西区期末）图中由“〇”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仓山区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD的延长线上，如果∠BAD＝α，那么∠ACB的度数为　 　（用含α的代数式表示）．
7．（2024秋 东莞市期末）如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA于点M，若OP＝6，则QM的长为 　 　．
8．（2024秋 朝阳区校级期末）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A，B，C为顶点画△ABC，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP，使△ABP与△ABC成轴对称．这样的P点有 　 　个？（填P点的个数）
9．（2024秋 坪山区期末）折纸是中国传统的民间艺术，已有近千年的历史，是国家级非物质文化遗产之一．小明在用一张长方形纸片ABCD分别沿着EF，EH折叠，恰好使得AE，BE落在EG处，此时F，G，H在同一直线上，则∠FEH等于 　 　．
10．（2023秋 南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 西岗区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称后的△A1B1C1；
（2）点A1坐标 　 　，B1坐标 　 　，C1坐标 　 　；
（3）△AOC1的面积为 　 　．
12．（2024秋 藁城区期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．
13．（2024秋 句容市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）如图1，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点D，交BC于点F．利用直尺和圆规，作出折痕DF（保留作图痕迹，不写作法），并求BF的长；
（2）如图2，M为BC边上一点，△ABM沿着AM折叠，得到△AB1M，边AB1交BC于点N，当∠B1MN＝90°时，求BM的长．
14．（2024秋 南明区期末）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
（2）求△A'B'C'的面积．
15．（2024秋 大足区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣1，5），B（﹣2，0），C（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法）
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
期末专项培优：轴对称及其性质
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C A A B C
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 巢湖市期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是不轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称定义是关键．
2．（2024秋 盐城期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A．山 B．河 C．无 D．恙
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字；
A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2024秋 裕华区校级期末）如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　）
A．80° B．70° C．60° D．无法确定
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质得出∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，即可求解．
【解答】解：连接OM，如图所示，
∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，
∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，
∴∠M1OA+∠M2OB＝∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝40°，
∴∠M1OM2＝∠M1OA+∠M2OB+∠AOB＝40°+40°＝80°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
4．（2024秋 东莞市期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　）
A．小睿折出的是BC边上的中线
B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高
D．上述说法都错误
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：A、小睿的图，
∵AC沿AD折叠，对称边为AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴CD＝C′D，
∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意；
B、小轩的图，
∵AC沿AD折叠，对称边为AC′，
∴△ACD≌△△AC′D，
∴∠CAD＝∠C′AD，
∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意；
C、小涵的图，
∵AC折叠后点C与点B重合，
∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解题的关键．
5．（2024秋 桥西区期末）图中由“〇”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按l1，l2，l3，l4折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴．
【解答】解：该图形的对称轴是直线l3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 仓山区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD的延长线上，如果∠BAD＝α，那么∠ACB的度数为　　（用含α的代数式表示）．
【考点】轴对称的性质；列代数式．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】．
【分析】利用轴对称的性质得到△BCA≌△B′CA，利用全等的性质得到AB＝AB′，∠B＝∠B′，∠B′CA＝∠BCA，再通过角的等量代换求解即可．
【解答】解：∵B关于AC的对称点B′恰好落在CD的延长线上，
∴△BCA≌△B′CA，
∴AB＝AB′，∠B＝∠B′，∠B′CA＝∠BCA，
∵AB＝AD，
∴AB′＝AD，
∴∠B′＝∠ADB′＝∠B′，
∵∠ADB′+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，则∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣a，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，列代数式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
7．（2024秋 东莞市期末）如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA于点M，若OP＝6，则QM的长为 　3　．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】3．
【分析】如图，连接OQ．构造特殊直角三角形解决问题即可．
【解答】解：如图，连接OQ．
∵P与PQ关于OB对称，
∴∠AOB＝∠QOB＝15°，OQ＝OP＝6，
∴∠AOQ＝30°，
∵QM⊥OA，
∴∠OMQ＝90°，
∴QMOQ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
8．（2024秋 朝阳区校级期末）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A，B，C为顶点画△ABC，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP，使△ABP与△ABC成轴对称．这样的P点有 　2　个？（填P点的个数）
【考点】轴对称的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】2．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【解答】解：如图，满足条件的△ABP有2个，
故答案为2．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，画出图形解决问题．
9．（2024秋 坪山区期末）折纸是中国传统的民间艺术，已有近千年的历史，是国家级非物质文化遗产之一．小明在用一张长方形纸片ABCD分别沿着EF，EH折叠，恰好使得AE，BE落在EG处，此时F，G，H在同一直线上，则∠FEH等于 　90°　．
【考点】轴对称的性质；角的计算．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】90°．
【分析】根据折叠的性质得出∠AEF＝∠FEG，∠BEH＝∠HEG，进而利用平角解答即可．
【解答】解：由折叠可知，∠AEF＝∠FEG，∠BEH＝∠HEG，
∵∠AEF+∠FEG+∠BEH+∠HEG＝180°，
∴∠FEH＝∠FEG+∠HEG＝90°，
故答案为：90°．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据折叠的性质得出∠AEF＝∠FEG，∠BEH＝∠HEG解答．
10．（2023秋 南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是　3　．
【考点】轴对称的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称的性质，由AD是三角形ABC的对称轴得到AD垂直平分BC，则AD⊥BC，BD＝DC，根据三角形的面积公式得到S△EFB＝S△EFC，得到S阴影部分＝S△ABDS△ABCBD AD，然后把BD＝2，AD＝3代入计算即可．
【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC，BD＝DC，
∴S△EFB＝S△EFC，
∴S阴影部分＝S△ABDS△ABCBD AD2×3＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被对轴轴垂直平分．也考查了三角形的面积公式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 西岗区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣4，1），B（﹣3，5），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称后的△A1B1C1；
（2）点A1坐标 　（4，1）　，B1坐标 　（3，5）　，C1坐标 　（1，4）　；
（3）△AOC1的面积为 　　．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）（4，1）；（3，5）；（1，4）．
（3）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点A1（4，1），B1（3，5），C1（1，4）．
故答案为：（4，1）；（3，5）；（1，4）．
（3）△AOC1的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
12．（2024秋 藁城区期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．
（2）（﹣2，0）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据全等三角形的判定可确定点D的位置，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．
（2）∵△ADC≌△ABC，
∴AD＝AB，CD＝CB．
∵点D在x轴上，
∴点D的位置如图所示．
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
13．（2024秋 句容市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
（1）如图1，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点D，交BC于点F．利用直尺和圆规，作出折痕DF（保留作图痕迹，不写作法），并求BF的长；
（2）如图2，M为BC边上一点，△ABM沿着AM折叠，得到△AB1M，边AB1交BC于点N，当∠B1MN＝90°时，求BM的长．
【考点】作图﹣轴对称变换；平行线的性质．
【专题】推理能力．
【答案】（1），图见解析；
（2）2．
【分析】（1）如图，作AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F．可得折痕DF，设AF＝BF＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△ACE中用勾股定理求解即可；
（2）先求出∠AMB＝135°，得出∠AMC＝45°，进而求出AC＝MC＝6，即可求出结论．
【解答】解：（1）如图，作AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F，
∵直线DF是对称轴，
∴AF＝BF，
∵AC＝6，BC＝8，
设AF＝BF＝x，则CF＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴AC2+CF2＝AF2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得，
∴；
（2）∵∠AMB＝∠AMB1，∠B1MN＝90°，
∴∠BMB1＝180°﹣90°＝90°，
∴，
∴∠AMC＝180°﹣135°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAM＝∠CMA＝45°，
∴AC＝MC＝6，
∵BC＝8，
∴BM＝2．
【点评】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
14．（2024秋 南明区期末）已知：如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
（2）求△A'B'C'的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）图形见解答；
（2）6．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
（2）根据网格，利用割补法即可求△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）△A'B'C'即为所求；
（2）△A'B'C'的面积＝4×42×22×42×4＝16﹣2﹣4﹣4＝6．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
15．（2024秋 大足区期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣1，5），B（﹣2，0），C（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（其中A1、B1、C1是A、B、C的对应点，不写画法）
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）A1（1，5）B1（2，0）C1（4，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝3×51×52×32×3，
＝15﹣2.5﹣3﹣3，
＝15﹣8.5，
＝6.5．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
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