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期末专项培优：公式法
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 新兴县期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16
2．（2024秋 闽清县期末）下列因式分解正确的是（　　）
A．xy﹣y2＝y（x﹣y） B．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
C．4x2﹣4x+1＝（4x﹣1）2 D．2x2﹣6x+2＝2（x2﹣3x）
3．（2024秋 闽清县期末）若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
4．（2024秋 台江区期末）下列将多项式3a2﹣6a+3因式分解正确的是（　　）
A．3a（a﹣2）+3 B．3（a2﹣2a+1）
C．3（a﹣1）（a+1） D．3（a﹣1）2
5．（2024秋 旌阳区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　）
A．2x B．﹣2x C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）已知，a﹣b＝2，则a2﹣b2+6a+6b的值为 　 　．
7．（2024秋 洪山区期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　 　．
8．（2024秋 长沙期末）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　 　．
9．（2024秋 合川区期末）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝　 　
10．（2024秋 浦东新区校级期末）现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为　 　（用含a、b的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 青山区期末）分解因式：
（1）x3﹣9x；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
12．（2024秋 满洲里市期末）分解因式：
（1）a3﹣4a；
（2）m2n﹣6mn+9n．
13．（2024秋 中山市期末）【阅读材料】因式分解：x2+4xy+4y2﹣16．
解：∵x2+4xy+4y2＝（x+2y）2；∴将x+2y看成整体，令x+2y＝M，则原式＝M2﹣16＝（M+4）（M﹣4），将M还原，则原式＝（x+2y+4）（x+2y﹣4）．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题：
【数学理解】（1）因式分解：（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）+9；
【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．
14．（2024秋 科左中旗期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
x2+6x﹣7＝x2+6x+（）2﹣（）﹣7＝（x+3）2﹣16＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
15．（2024秋 赵县期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2．由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是　 　；（用a，b表示）
（2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；a2+3ab+2b2．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
（3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数x，y满足x+y＝3，，求x2﹣y2的值．
期末专项培优：公式法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 新兴县期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、﹣x2+16＝16﹣x2＝（4+x）（4﹣x），符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，比较简单，关键是要熟悉平方差公式的结构，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
2．（2024秋 闽清县期末）下列因式分解正确的是（　　）
A．xy﹣y2＝y（x﹣y） B．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）
C．4x2﹣4x+1＝（4x﹣1）2 D．2x2﹣6x+2＝2（x2﹣3x）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】将各式因式分解后进行判断即可．
【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y），则A符合题意，
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），则B不符合题意，
4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，则C不符合题意，
2x2﹣6x+2＝2（x2﹣3x+1），则D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．（2024秋 闽清县期末）若m为自然数，则（2m+3）2﹣4m2的值总能（　　）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先将（2m+3）2﹣4m2转化为3（4m+3），即可得出结论．
【解答】解：（2m+3）2﹣4m2
＝4m2+12m+9﹣4m2
＝12m+9
＝3（4m+3），
∵m为自然数，
∴（2m+3）2﹣4m2的值总能被3整除，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解是解题的关键．
4．（2024秋 台江区期末）下列将多项式3a2﹣6a+3因式分解正确的是（　　）
A．3a（a﹣2）+3 B．3（a2﹣2a+1）
C．3（a﹣1）（a+1） D．3（a﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】D
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3a2﹣6a+3
＝3（a2﹣2a+1）
＝3（a﹣1）2，
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
5．（2024秋 旌阳区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　）
A．2x B．﹣2x C． D．
【考点】因式分解﹣运用公式法；单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据添加项是中间项或第一项可作判断．
【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、x2+1加上，无法构成完全平方式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）已知，a﹣b＝2，则a2﹣b2+6a+6b的值为 　　．
【考点】因式分解的应用；二次根式的化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据已知条件求出a2﹣b2，再把所求代数式写成含有a2﹣b2，a+b的形式，最后整体代入进行计算即可．
【解答】解：∵，a﹣b＝2，
∴，
∴a2﹣b2+6a+6b
＝（a2+b2）+6（a+b）
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分解因式及其应用和二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
7．（2024秋 洪山区期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8．（2024秋 长沙期末）将2a2﹣18因式分解后的结果为 　2（a+3）（a﹣3）．　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2（a+3）（a﹣3）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2a2﹣2×9
＝2（a2﹣9）
＝2（a2﹣32）
＝2（a+3）（a﹣3），
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
9．（2024秋 合川区期末）分解因式：mn+2m﹣n﹣2＝　（m﹣1）（n+2）　
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（m﹣1）（n+2）．
【分析】利用分组分解法分解因式即可．
【解答】解：利用分组分解法分解因式可得：
mn+2m﹣n﹣2
＝m（n+2）﹣（n+2）
＝（m﹣1）（n+2）．
故答案为：（m﹣1）（n+2）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．
10．（2024秋 浦东新区校级期末）现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长、宽为a、b的长方形C型纸片，丽丽同学选取了5张A型纸片，10张B型纸片，27张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为　12a+14b　（用含a、b的代数式表示）
【考点】因式分解的应用；列代数式；整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【答案】12a+14b．
【分析】根据题意表示出长方形的面积，利用因式分解转化为多项式与多项式的积，即可确定长方形的长和宽，继而得到长方形的周长．
【解答】解：根据题意，长方形的面积为5a2+10b2+27ab＝（a+5b）（5a+2b），
∴边长为a+5b和5a+2b，
∴周长为（a+5b+5a+2b）×2＝12a+14b；
故答案为：12a+14b．
【点评】本题考查了整式的混合运算及因式分解，解题的关键是掌握正方形，长方形的面积公式及因式分解．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 青山区期末）分解因式：
（1）x3﹣9x；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）先利用完全平方公式展开，整理后利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）（2a﹣b）2+8ab
＝4a2﹣4ab+b2+8ab
＝4a2+4ab+b2
＝（2a+b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（2024秋 满洲里市期末）分解因式：
（1）a3﹣4a；
（2）m2n﹣6mn+9n．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）a（a+2）（a﹣2）；
（2）n（m﹣3）2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）a3﹣4a
＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）；
（2）m2n﹣6mn+9n
＝n（m2﹣6m+9）
＝n（m﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
13．（2024秋 中山市期末）【阅读材料】因式分解：x2+4xy+4y2﹣16．
解：∵x2+4xy+4y2＝（x+2y）2；∴将x+2y看成整体，令x+2y＝M，则原式＝M2﹣16＝（M+4）（M﹣4），将M还原，则原式＝（x+2y+4）（x+2y﹣4）．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题：
【数学理解】（1）因式分解：（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）+9；
【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）（a﹣2b﹣3）2；
（2）证明见解析．
【分析】（1）仿照题中给出的方法解答即可；
（2）仿照题中给出的方法得出（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，即可证明．
【解答】（1）解：令a﹣2b＝M，
则原式＝M2﹣6M+9＝（M﹣3）2，
将M还原，则原式＝（a﹣2b﹣3）2；
（2）证明：令a2b2﹣4a＝M，
则原式＝M（M﹣2）+1
＝M2﹣2M+1
＝（M﹣1）2，
将M还原，则原式＝（a2b2﹣4a﹣1）2≥0，
∴无论a，b取何值时，（a2b2﹣4a）（a2b2﹣4a﹣2）+1的值一定是非负数．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，理解题意是解题的关键．
14．（2024秋 科左中旗期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
x2+6x﹣7＝x2+6x+（）2﹣（）﹣7＝（x+3）2﹣16＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（x+4）（x﹣2）；
（2）x2+4x﹣3的最小值为﹣7；
（3）12．
【分析】（1）利用配方法，结合平方差公式法进行因式分解即可；
（2）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可；
（3）移项后，利用配方法以及完全平方的非负性，求出a，b，c的值，进而求解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+12﹣12﹣8
＝（x+1）2﹣32
＝（x+4）（x﹣2）；
（2）x2+4x﹣3
＝（x+2）2﹣7，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7≥﹣7，
∴x2+4x﹣3的最小值为﹣7；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
15．（2024秋 赵县期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2．由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　；（用a，b表示）
（2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；a2+3ab+2b2．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
（3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数x，y满足x+y＝3，，求x2﹣y2的值．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）见解析，a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；
（3）±6．
【分析】（1）图2可以看作是一个边长为（a+b）的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为（a﹣b）的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案；
（2）根据图2进行设计图形并对式子进行分解；
（3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于x，y的方程组，进而整体代入计算即可．
【解答】解：（1）根据用不同的方法对图2的面积进行计算，发现的等式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）如图，
a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）．
（3）由（1）得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
又∵x+y＝3，，
∴，
∴，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝±6．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用，正确进行计算是解题关键．
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