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期末专项培优：直角三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 伊川县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
3．（2024秋 锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．32，42，52 C．，， D．
4．（2024秋 阜宁县期末）满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2
C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
5．（2024秋 源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或4
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　 　．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　．
8．（2024秋 长沙期末）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果AB＝2，，那么BD＝　 　．
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝ 　 　．
10．（2024秋 宿豫区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由．
12．（2024秋 广陵区期末）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a、b、c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程．
13．（2024秋 贵州期末）如图四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积．
14．（2024秋 锡山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
15．（2024秋 靖江市期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
期末专项培优：直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而可得AE的长，然后再确定E点所对应的数．
【解答】解：∵点A，B对应在数分别是1，2，
∴AB＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝AB＝1，
∴AC，
∴AE，
∵点A对应的数是1，
∴E在数轴上对应在数为，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2024秋 伊川县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2，
∴32+AE2＝（9﹣AE）2，
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．（2024秋 锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．32，42，52 C．，， D．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、32＝9，42＝16，52＝25，
∵92+162＝337，252＝625，
∴92+162≠252，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+（）2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（2024秋 阜宁县期末）满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．a2＝c2﹣b2
C．a2＝5，b2＝12，c2＝13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵a2＝5，b2＝12，c2＝13，
∴a2+b2＝17≠c2＝13，
∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+C＝180°，
∴最大角∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理和三角形内角和定理是解题的关键．
5．（2024秋 源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　）
A． B．2 C．或2 D．或4
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可．
【解答】解：分两种情况：
①当和1均为直角边时，第三条边长2；
②当1为直角边，为斜边时，第三条边长；
综上所述，第三边长为或2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是 　10　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据勾股定理得到SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，进一步运算即可．
【解答】解：由图可知，SA+SB＝SE，SD﹣SC＝SE，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，
∴正方形B的面积+6＝24﹣8，
∴正方形B的面积＝10．
故答案为：10
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　45　．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】45°．
【分析】连接AC，先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，故可得出∠ABC＝45°，则∠ABE+∠2＝45°，再根据平行线的性质得出∠1＝∠ABE即可得出结论．
【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC，
∴∠2＝∠ABE，
∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE+∠1＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
8．（2024秋 长沙期末）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果AB＝2，，那么BD＝　1　．
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【专题】运算能力．
【答案】1．
【分析】根据勾股定理求出，根据等积法求出AD的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
，
∵，
∴，
∵AD是斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2024秋 拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，过点D作DF∥AB，交AC于点F．若AB＝4，AE＝6，则DC2＝ 　72　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】72．
【分析】（1）过D作DG⊥AC于G，可证△ABD≌△AGD（HL），AB＝AG＝4，EG＝2，再通过△ADG∽△DGE，可得BD＝DG＝2，再根据△ABC∽△DGC可得ACDC，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过D作DG⊥AC于G，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠1＝∠2，DB＝DG，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AGD（HL），
∴AB＝AG＝4，
∴EG＝AE﹣AG＝2，
∵DG⊥ACN，
∴∠2+∠ADG＝90°，
∴△ADG∽△DGE，
∴，即，
∴DG＝2，BD＝DG＝2，
∵∠ABC＝∠DGC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DGC，
∴，即，
∴ACDC，
∴42，
解得DC＝6或﹣2（舍去），
∴DC2＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
10．（2024秋 宿豫区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝1，，则AE长为 　2　．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由勾股定理求出DE＝2，再由角平分线的定义和平行线的性质证明∠ADE＝∠EAD，然后由等腰三角形的判定得出AE＝DE＝2即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠C＝90°，CE＝1，，
由勾股定理得：DE2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握勾股定理，证明AE＝DE是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝32+32＝18，
则AB5，
∵BC2＝42+22＝20，
∴BC＝2，
∵CD2＝22+12＝5，
∴CD，
∵AD2＝32+42＝25，
∴AD＝5，
故四边形ABCD的周长为：525535，
四边形ABCD的面积为：7×5（1×7+4×2+2×1+4×3）﹣3＝35﹣17.5＝17.5；
（2）由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25，
故DC2+BC2＝BD2，
则∠BCD＝90°．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
12．（2024秋 广陵区期末）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a、b、c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（2）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∠A＝45°；
（2）见解析．
【分析】（1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先求出CD＝CB＝a，AD＝CD＝a，DB＝AB﹣AD＝c﹣a，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°；
（2）如图：以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CE⊥AB，
∴，
∴，
在Rt△ACE中，，
在Rt△BCE中，，
∴，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
【点评】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键．
13．（2024秋 贵州期末）如图四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】36．
【分析】在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理求出CD，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABD的面积+直角三角形BCD的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】解：由题意可得：∠A＝∠BDC＝90°，
∵AB＝4，AD＝3，
∴，
又CB＝13，
∴，
则．
【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．（2024秋 锡山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可；
（2）结合（1）求出BD＝3，根据勾股定理求出AE＝BE，再根据三角形周长定义求解即可．
【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（2024秋 靖江市期末）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据题意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本题答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
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