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期末专项培优：中心对称
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 靖江市期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 宿迁期末）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
3．（2024秋 包河区校级期末）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 宝山区期末）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD、BC，以下结论错误的是（　　）
A．AO＝CO
B．∠BAO＝∠CDO
C．S△AOB＝S△AOD
D．△AOD与△COB关于点O成中心对称
5．（2024秋 南充期末）如图，在4×4的正方形网格中，再从①，②，③，④选取一个空白小正方形涂黑，使涂黑部分是一个中心对称图形．可行的是涂（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共5小题）
6．（2025 柳州一模）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，3）关于原点对称，则点B的坐标是 　 　．
7．（2024秋 合川区期末）如图，已知△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称，且∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则B′C′的长为 　 　．
8．（2024秋 廉江市期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝74mm，AD2﹣AC1＝50mm，则BE1＝　 　mm．
9．（2024秋 凉州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2019＝　 　．
10．（2024秋 市北区期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宁乡市期末）如图，△ABO的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，2），B（3，0）．
（1）画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O；
（2）写出坐标：A1　 　，B1　 　．
12．（2024秋 永吉县期末）如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．
13．（2023秋 民权县期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．
14．（2024秋 山丹县期末）已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
15．（2024秋 临高县期中）已知点A（a，2），B（﹣3，b），根据下列条件分别求a，b的值．
（1）A，B两点关于x轴对称；
（2）A，B两点关于y轴对称；
（3）A，B两点关于坐标原点对称；
（4）AB∥y轴；
（5）A，B两点在第二，四象限的角平分线上．
期末专项培优：中心对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 靖江市期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．（2024秋 宿迁期末）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
【考点】关于原点对称的点的坐标；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】C
【分析】先化简求出a，b的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答．
【解答】解：∵，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
则点P（2，﹣1），
则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，掌握关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反是解题的关键．
3．（2024秋 包河区校级期末）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
4．（2024秋 宝山区期末）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接AD、BC，以下结论错误的是（　　）
A．AO＝CO
B．∠BAO＝∠CDO
C．S△AOB＝S△AOD
D．△AOD与△COB关于点O成中心对称
【考点】中心对称；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质和全等三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△AOB与△COD关于点 O 成中心对称，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠BAO＝∠DCO，故A不符合要求，B符合题意；
∵OD＝OB，
∴S△AOB＝S△AOD，故C不符合要求；
∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠BOD，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴△AOD与△COB关于点O成中心对称，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
5．（2024秋 南充期末）如图，在4×4的正方形网格中，再从①，②，③，④选取一个空白小正方形涂黑，使涂黑部分是一个中心对称图形．可行的是涂（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：选择③与涂黑的部分组成一个图形是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2025 柳州一模）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，3）关于原点对称，则点B的坐标是 　（3，﹣3）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（3，﹣3）．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，3）关于原点对称，则点B的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（2024秋 合川区期末）如图，已知△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称，且∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则B′C′的长为 　2　．
【考点】中心对称；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】2．
【分析】解直角三角形求出BC，再根据中心对称的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC2，
∵△ABC与△AB'C'关于点A成中心对称，
∴B′C′＝BC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查中心对称，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质．
8．（2024秋 廉江市期末）如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝74mm，AD2﹣AC1＝50mm，则BE1＝　24　mm．
【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】24．
【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，得出BE1＝OD1+OD2＝2OD2，再由图形中线段间的关系得出D＝OC1+OD2＝OD2+50+OD2＝74mm，即可求解．
【解答】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴BE1＝OD1+OD2＝2OD2，
∵AD2﹣AC1＝50mm，
∴（AO﹣OD2）﹣（AO﹣OC1）＝50mm，
∴OC1﹣OD2＝50mm，
∴OC1＝OD2+50，
∵CD＝OC+OD＝OC1+OD1，
∴CD＝OC1+OD2＝OD2+50+OD2＝74mm，
∴2OD2＝24mm，
∴BE1＝24mm，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键．
9．（2024秋 凉州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2019＝　﹣1　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】﹣1．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得a，b的值，再根据乘方运算可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），
∴a＝5，b＝﹣6．
∴（a+b）2019＝（﹣1）2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．（2024秋 市北区期末）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为　y　．
【考点】中心对称；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】y．
【分析】令过点P且平分这七个正方形面积的直线交x轴于点M，过点P作x轴的垂线，垂足为N，结合△PMN的面积求出点M的坐标即可解决问题．
【解答】解：令过点P且平分这七个正方形面积的直线交x轴于点M，如图所示，
过点P作x轴的垂线，垂足为N，
∵直线PM平分这七个小正方形的面积，
∴，
∴，
∴MN，
∴OM＝5，
则点M的坐标为（）．
令直线PM的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线的函数表达式为y．
故答案为：y．
【点评】本题主要考查了中心对称、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 宁乡市期末）如图，△ABO的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，2），B（3，0）．
（1）画出△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O；
（2）写出坐标：A1　（﹣3，﹣2）　，B1　（﹣3，0）　．
【考点】中心对称．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）（﹣3，﹣2），（﹣3，0）．
【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案；
（2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，如图即为所求；
（2）∵△ABO关于点O成中心对称的△A1B1O，A（3，2），B（3，0），
∴A1（﹣3，﹣2），B1（﹣3，0）．
【点评】本题主要考查了中心对称，正确得出对应点位置是解题关键．
12．（2024秋 永吉县期末）如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据中心对称的性质得到BG＝DG，AG＝CG，再证明EG＝FG即可利用SAS证明△DGE≌△BGF，由此即可证明BF＝DE
【解答】证明：∵△AGB与△CGD关于点G中心对称，
∴BG＝DG，AG＝CG，
∵AE＝CF，
∴AG﹣AE＝CG﹣CF，
∴EG＝FG，
又∵∠DGE＝∠BGF，
∴△DGE≌△BGF（SAS），
∴BF＝DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．（2023秋 民权县期末）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．
【考点】中心对称．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得FO＝EO，然后再证明△FOD≌△EOB，利用全等三角形的性质可得DF＝BE．
【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴AO﹣AF＝CO﹣CE，
∴FO＝EO，
在△FOD和△EOB中
，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE．
【点评】此题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
14．（2024秋 山丹县期末）已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：
（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；
（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可；
（2）根据直线MN平行于x轴可得M、N两点纵坐标相等列方程计算即可．
【解答】解：（1）∵点M（3m﹣2，2m+1）与（﹣7，﹣7）关于原点对称，
∴，
解得m＝3；
（2）∵点N（3，9），且直线MN平行于x轴，
∴M点纵坐标为9，
∴2m+1＝9，解得m＝4，
∴M（10，9）．
【点评】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15．（2024秋 临高县期中）已知点A（a，2），B（﹣3，b），根据下列条件分别求a，b的值．
（1）A，B两点关于x轴对称；
（2）A，B两点关于y轴对称；
（3）A，B两点关于坐标原点对称；
（4）AB∥y轴；
（5）A，B两点在第二，四象限的角平分线上．
【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣3，b＝﹣2；
（2）a＝3，b＝2；
（3）a＝3，b＝﹣2；
（4）a＝﹣3，b≠2；
（5）a＝﹣2，b＝3．
【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合A，B两点的坐标可求出a，b；
（2）关于y轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合A，B两点的坐标可求出a，b；
（3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合A，B两点的坐标可求出a，b；
（4）与y轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合A，B两点的坐标可求出a，b；
（5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合A，B两点的坐标可求出a，b．
【解答】解：（1）∵A、B关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
又∵A（a，2），B（﹣3，b），
∴a＝﹣3，b＝﹣2；
（2）∵A、B关于y轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，
又∵A（a，2），B（﹣3，b），
∴a＝3，b＝2；
（3）A、B关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数，
∵A（a，2），B（﹣3，b），
∴a＝3，b＝﹣2；
（4）直线AB∥y轴，则A、B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，
∵A（a，2），B（﹣3，b），
∴a＝﹣3，b≠2；
（5）A、B在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点A、点B的横坐标和纵坐标互为相反数，
∵A（a，2），B（﹣3，b），
∴a＝﹣2，b＝3．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
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