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期末专项培优：平行四边形的性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　）
A．15 B．11 C．20 D．52
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（　　）
A． B． C．12 D．6
3．（2024秋 长安区期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
4．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（　　）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
5．（2025 大渡口区模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　 　．
7．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　 　．
8．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　 　．
9．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 　 　．
10．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
12．（2024秋 市北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、E、C、G在同一条直线上，且BE＝EC＝CG，AE延长线交DC延长线于F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）条件：①AC＝BD；②BC＝2CD．
请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形DEFG的形状（两个都写以第一个为准）．
13．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
14．（2024秋 莱西市期末）已知：如图， ABCD中，E为AD边上一点，F为BC边延长线上一点，AE＝CF，过点F作FG∥BE，交DC延长线于点G，连接BG．
（1）求证：△ABE≌△CGF；
（2）当EC＝DC时，判断四边形BGFE是什么特殊四边形？请说明理由．
15．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
期末专项培优：平行四边形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　）
A．15 B．11 C．20 D．52
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11，
∴CD＝AB＝11，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝11，
∵BE＝4，
∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，
故选：A．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键．
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（　　）
A． B． C．12 D．6
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AHAB＝2，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE AF＝AD AH＝12．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AF⊥DE，
∴△EAD的面积AD AHDE AF，
∴DE AF＝6×212．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD AH＝DE AF．
3．（2024秋 长安区期末）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），
∴DC∥AB，DC＝AB＝5，
∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3，
即点C的坐标是（7，3），
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
4．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（　　）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ADF是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由 ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴BG⊥AE，AB＝6，BG，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，掌握其性质定理是解决此题的关键．
5．（2025 大渡口区模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 　　．
【考点】平行四边形的性质；轴对称的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB sin∠ABC＝2，BH＝AB cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24．
【解答】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，
则AH＝AB sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB cos∠ABC＝4cos60°＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
在Rt△ACH中，AC2，
∵点B与点Q关于直线AP对称，
∴AQ＝AB＝4，
∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，
∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　16cm　．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】16cm．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm，
∴AD+AB＝11cm，
∵AC，BD相交于点O且BD为5cm，
∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm），
故答案为：16cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
8．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　2cm　．
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】2cm．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．
【解答】解：在 ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝DAE，
∴∠BAE＝BAE，
∴BE＝AB＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．
9．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 　4+2　．
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】4+2．
【分析】由平行四边形的性质得OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD4，则AD2，再证明∠ECD＝∠EDC，所以DE＝CE＝AEAD，即可求得△CDE的周长为4+2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，
∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD4，
∴AD2，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AEAD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝44+2，
∴故答案为：4+2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．
10．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 　110　．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根据“AAS“证明△ABE≌△DCF，则BE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠C，
∵AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE＝CF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．
12．（2024秋 市北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、E、C、G在同一条直线上，且BE＝EC＝CG，AE延长线交DC延长线于F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）条件：①AC＝BD；②BC＝2CD．
请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形DEFG的形状（两个都写以第一个为准）．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形DEFG是菱形，理由见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥DC，得到∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠ECF，由AAS推出△ABE≌△FCE；
（2）由△ABE≌△FCE，推出AB＝CF，由平行四边形的性质推出DC＝AB，得到CF＝CD，判定四边形DEFG是平行四边形，判定四边形ABCD是矩形，得到DF⊥EG，推出四边形DEFG是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠ECF，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）选AC＝BD为条件，四边形DEFG是菱形，理由如下：
由（1）知：△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
∴CF＝CD，
∵CE＝CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴DF⊥EG，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴四边形DEFG是菱形．
【点评】本题考查平行四边新的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，菱形的判定方法．
13．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明；
（2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点，
∴DEAB＝2，
∴AB＝4，
∴AD2，
∴S△ABDAD DB＝2，
∴S△BDE，
在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴S BEDF＝2S△BDE＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2024秋 莱西市期末）已知：如图， ABCD中，E为AD边上一点，F为BC边延长线上一点，AE＝CF，过点F作FG∥BE，交DC延长线于点G，连接BG．
（1）求证：△ABE≌△CGF；
（2）当EC＝DC时，判断四边形BGFE是什么特殊四边形？请说明理由．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）四边形BGFE是菱形，理由见解答过程．
【分析】（1）根据平行四边形性质得∠A＝∠BCD＝∠GCF，AB＝DC，AD∥BC，则∠AEB＝∠EBC，再根据FG∥BE得∠EBC＝∠F，进而得∠AEB＝∠F，由此可依据“ASA”判定△ABE和△CGF全等；
（2）连接EG交BF于点O，根据△ABE和△CGF全等得BE＝FG，AB＝CG，则四边形BGFE是平行四边形，进而得OE＝OG，再根据AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC得EC＝CG，则EG⊥BF，据此可得出平行四边形BGFE是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠BCD＝∠GCF，
∴∠A＝∠GCF，
∵AD∥BC，FG∥BE，
∴∠AEB＝∠EBC，∠EBC＝∠F，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△CGF中，
∠A＝∠GCF，AE＝CF，∠AEB＝∠F，
∴△ABE≌△CGF（ASA）；
（2）当EC＝DC时，四边形BGFE是菱形，理由如下：
连接EG交BF于点O，如图所示：
∵△ABE≌△CGF，
∴BE＝FG，AB＝CG，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴OE＝OG，
∵AB＝DC，AB＝CG，EC＝DC，
∴EC＝CG，
∴EG⊥BF，
∴平行四边形BGFE是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AECF是正方形，证明见解答．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，得AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，所以∠ABE＝∠CDF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，则∠AEF＝∠CFE，所以AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，由ACBD，EFBD，推导出AC＝EF，而AC⊥EF，则四边形AECF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，
∴AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：四边形AECF是正方形，
证明：由（1）得△ABE≌△CDF，EFBD，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
∵∠AEF＝180°﹣∠AEB，∠CFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵ACBD，EFBD，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，推导出∠ABE＝∠CDF，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
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