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期末专项培优：一元一次不等式与一次函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
2．（2025 潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2024秋 钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
4．（2024秋 宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
5．（2024秋 锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　 　．
7．（2024秋 鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：
x … ﹣3 1 2 …
y1 … ﹣1 3 4 …
x … ﹣1 1 3 …
y2 … 7 3 ﹣1 …
当x 　 　时，y1＞y2．
8．（2024秋 建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 …
那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　 　．
9．（2024秋 梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，则不等式的解集是　 　．
10．（2024秋 肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上．
（1）若m＝3，求a的值．
（2）若2＜m＜3，求a的取值范围．
（3）设函数y2x，若a＜0，当y1＜y2时，求x的取值范围．
12．（2024秋 沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　 　．
13．（2024秋 鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求m的值；
（2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是 　 　．
14．（2024秋 萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．
（1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值．
（2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0．
15．（2024秋 南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）．
（1）求b、m、k的值；
（2）△ACD的面积为 　 　．
（3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集．
期末专项培优：一元一次不等式与一次函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D C A D B
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 广陵区期末）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的图象，一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
2．（2025 潍坊模拟）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．
在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
3．（2024秋 钢城区期末）点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一次函数解析式可得其增减性，则可比较m、n的大小．
【解答】解：在函数y＝﹣3x﹣1中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点（3，m）和点（4，n）都在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，且3＜4，
∴m＞n，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
4．（2024秋 宿城区校级期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　）
A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【答案】D
【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），
所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
5．（2024秋 锡山区期末）如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x．其中正确的结论个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（，0），然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限，
∴a＞0，所以①正确；
∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，所以②错误；
∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），
∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确；
把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，
解得a＝3，
∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，
解得x，
∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（，0），
∴当x时，ax+2＜0，
∴当﹣2＜x时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 拱墅区期末）已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　x＞﹣2　．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用．
【答案】x＞﹣2．
【分析】根据函数y1的图象经过第二、三、四象限，判断k和b的取值范围，根据函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，得到的取值，即可得到不等式不等式kx﹣b＜0的解集．
【解答】解：函数y1的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∵若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，
∴kx﹣b＝0，ax+2a＝0，
∴x2，
∴不等式kx﹣b＜0，
∴x，
∴x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，判断一次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．
7．（2024秋 鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：
x … ﹣3 1 2 …
y1 … ﹣1 3 4 …
x … ﹣1 1 3 …
y2 … 7 3 ﹣1 …
当x 　＞1　时，y1＞y2．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】＞1
【分析】根据表格中的数据可以求得二个一次函数的解析式，从而可以得到不等式k1x+b1＞k2x+b2的解．
【解答】解：∵点（1，3）和点（2，4）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上，
∴ 得，
即一次函数y1＝x+2，
∵点（1，3）和点（3，﹣1）在一次函数 y2＝k2x+b2的图象上，
∴得，
即一次函数y2＝﹣2x+5，
∴y1＞y2时，x+2＞﹣2x+5，
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8．（2024秋 建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 …
那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　x≤﹣2　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】x≤﹣2．
【分析】通过一次函数与一元一次不等式的关系可知，kx+b≥5，即为y≥5．即可得到对应的x的取值范围．
【解答】解：当x＝﹣2时y＝5，
根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2．
故答案为：x≤﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于通过不等式与一次函数的增减性得到x的取值范围．
9．（2024秋 梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，则不等式的解集是　x＜﹣4　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】x＜﹣4．
【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线yx的下方所对应的自变量的范围即可；
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣4，2）和，正比例函数yx也经过点（﹣4，2），如图，
观察图象，当x＜﹣4时，直线y＝kx+b在直线yx的下方，
∴不等式的解集是x＜﹣4．
故答案为：x＜﹣4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．（2024秋 肥东县期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　m≤4　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】m≤4．
【分析】以两函数图象交点为分界，直线l1在直线l2的上或在下方时，x＞2．
【解答】解：将P（m，5）代入y＝x+1，得
5＝m+1，
解得m＝4．
所以点P的坐标为（4，5）．
所以关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为m≤4．
故答案为：m≤4．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 拱墅区期末）在直角坐标系中，点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上．
（1）若m＝3，求a的值．
（2）若2＜m＜3，求a的取值范围．
（3）设函数y2x，若a＜0，当y1＜y2时，求x的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）a；
（2）．
（3）x＞﹣2．
【分析】（1）代入点A的坐标即可求得；
（2）分别求得m＝2和m＝3时的a的值，结合图象即可求得；
（3）证得两直线都经过点（﹣2，﹣1），结合一次函数的增减性即可判断．
【解答】解：（1）∵点A（m，0）在函数y1＝ax+2a﹣1（a≠0且a）的图象上，
∴am+2a﹣1＝0，
∴a，
若m＝3，则a；
（2）由（1）可知a，
∵2＜m＜3，
若m＝2时，a，
若m＝3时，a，
∴．
（2）∵y1＝ax+2a﹣1＝a（x+2）﹣1，
∴直线y1过点（﹣2，﹣1），如图，
∵a＜0，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∵直线y2x也经过点（﹣2，﹣1），且y随x的增大而增大，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＞﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
12．（2024秋 沛县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△COP的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥﹣3x的解集：　x≥﹣1　．
【考点】一次函数与一元一次不等式；三角形的面积；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）3；
（3）x≥﹣1．
【分析】（1）先把点P（m，3）代入y＝﹣3x中求出点P的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即可解答；
（2）利用（1）的结论求出点C的坐标，从而求出OC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答；
（3）利用（1）的结论可得：﹣x+2≥﹣3x，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）把点P（m，3）代入y＝﹣3x中得：3＝﹣3m，
解得：m＝﹣1，
∴点P（﹣1，3），
把P（﹣1，3），点B（1，1）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x+2中得：0＝﹣x+2，
解得：x＝2，
∴点C（2，0），
∵点P（﹣1，3），
∴△COP的面积OC yP2×3＝3；
（3）由题意得：﹣x+2≥﹣3x，
﹣x+3x≥﹣2，
2x≥﹣2，
x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2024秋 鼓楼区期末）已知一次函数y＝mx+m（m为常数，m≠0）的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求m的值；
（2）不等式组0＜mx+m＜3的解集是 　﹣2＜x＜﹣1　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m＝﹣3；
（2）﹣2＜x＜﹣1．
【分析】（1）把点（﹣2，3）代入一次函数解析式，即可求得m的值；
（2）解不等式组，即可求得x的取值范围；
【解答】解：（1）∵把点（﹣2，3）代入一次函数y＝mx+m中，
∴得3＝﹣2m+m，
∴m＝﹣3；
（2）∵不等式组0＜mx+m＜3，
∴，
∴﹣2＜x＜﹣1．
故答案为：﹣2＜x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，主要考查学生的计算能力，用了数形结合思想．
14．（2024秋 萧山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．
（1）若此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，求k的值．
（2）若k+b＜0，点P（2，a）（a＞0）在该一次函数图象上，求证：k＞0．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k＝3；
（2）见解答．
【分析】（1）将A（1，2），B（2，5）代入y＝kx+b之中即可求出k的值；
（2）将点P（2，a）代入y＝kx+b之中得2k+b＝a，根据a＞0得2k+b＞0，再结合k+b＜0得2k+b＞k+b，据此即可得出结论．
【解答】（1）解：∵此一次函数的图象经过A（1，2），B（2，5）两点，
，
解得k＝3；
（2）证明：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点P（2，a）（a＞0），
∴2k+b＝a，
∵a＞0，
∴2k+b＞0，
∵k+b＜0，
∴2k+b＞k+b，
∴k＞0．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键．
15．（2024秋 南京期末）如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）．
（1）求b、m、k的值；
（2）△ACD的面积为 　6　．
（3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）b＝4，m＝2，k；
（2）6；
（3）x＞4或x＜﹣2．
【分析】（1）先把B点坐标代入y2＝﹣x+b值求出b的值，从而得到为y2＝﹣x+4，再求出m的值得到D点坐标，然后把D点坐标代入y1＝kx+1中求出k的值；
（2）先利用两解析式求出点A、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）根据函数图象，写出两函数值异号时对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵将B（﹣1，5）代入y2＝﹣x+b得1+b＝5，
解得b＝4，
∴直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+4，
∵把D（2，m）代入y2＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2，
∴点D坐标为（2，2），
∵把D（2，2）代入y1＝kx+1得2k+1＝2，
解得k．
∴直线l1的函数表达式为y1x+1；
（2）当y＝0时，﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴C（4，0），
当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
△ACD的面积（4+2）×2＝6；
故答案为：6；
（3）∵当x＜﹣2或x＞4，y1 y2＜0，
∴不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集为x＞4或x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
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