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期末专项培优：一元一次不等式组
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锦江区校级期末）已知点P（2a+6，4+a）在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
2．（2024秋 高州市期末）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 宿豫区期末）点P（a，3﹣a）在第二象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜3 C．0＜a＜3 D．﹣3＜a＜0
4．（2024秋 越城区校级期末）把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 鄞州区期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值x的范围是（　　）
A．7.2≤x≤8.1 B．7.1≤x≤8.0 C．7.2≤x≤8.0 D．7.1≤x≤8.1
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是　 　．
7．（2025 山东模拟）不等式组的所有整数解的和为　 　．
8．（2024秋 浦江县期末）不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　 　．
9．（2024秋 门头沟区期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如表所示：
商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 　 　（写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 　 　（写商场编号）．
10．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 柯城区期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
12．（2024秋 临平区期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程：
解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步
（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　 　步开始出现错误；
（2）请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 　 　，
解不等式②，得 　 　，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为 　 　．
13．（2024秋 西湖区校级期末）已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解．
（1）分别求出m和n的取值范围；
（2）化简：|m+3|+|1﹣m|+|n+2|．
14．（2024秋 青白江区期末）《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
15．（2024秋 上城区期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解．
期末专项培优：一元一次不等式组
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 C B A C A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 锦江区校级期末）已知点P（2a+6，4+a）在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据第一象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+6，4+a）在第一象限，
∴，
解得a＞﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．（2024秋 高州市期末）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式x﹣2＞0得：x＞2，
解不等式2x﹣6≥0得：x≥3，
在数轴上表示如图：
，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2024秋 宿豫区期末）点P（a，3﹣a）在第二象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜3 C．0＜a＜3 D．﹣3＜a＜0
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0．
【解答】解：∵点M（a，3﹣a）是第二象限的点，
∴a＜0，3﹣a＞0，
解得：a＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查点在第二象限时点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题．
4．（2024秋 越城区校级期末）把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤5，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键，
5．（2024秋 鄞州区期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），若该游泳池检测合格，则第三次pH检测值x的范围是（　　）
A．7.2≤x≤8.1 B．7.1≤x≤8.0 C．7.2≤x≤8.0 D．7.1≤x≤8.1
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，可得，从而得出答案．
【解答】解：已知第一次pH检测值为7.4，第二次pH检测值在7.0至7.9之间（包含7.0和7.9），三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，
∴，
解得：7.2≤x≤8.1；
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是找准数量之间的关系，列出一元一次不等式．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 锦江区校级期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是　1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1．
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为9，可以确定不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根据解集确定a的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①得x＞a，
解不等式②得x≤4，
∵所有整数解的和是9，
∴不等式组的整数解为2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，
∴1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1
故答案为：1≤a＜2或﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
7．（2025 山东模拟）不等式组的所有整数解的和为　7　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得．
【解答】解：，
解不等式组得2＜x≤4，
∴不等式组的整数解为：3、4，
∴其和为：3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解是解题的关键．
8．（2024秋 浦江县期末）不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　m≤3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m≤3．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可解决问题．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞3，
因为此不等式组的解集为x＞3，
所以m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
9．（2024秋 门头沟区期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如表所示：
商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 　A，B，C （答案不唯一）　（写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 　A，B，E　（写商场编号）．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）A，B，C （答案不唯一）；
（2）A，B，E．
【分析】（1）根据A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，进行计算即可判断；
（2）通过计算各小区得收益，进行比较即可．
【解答】解：（1）A小区需送快递数量15，需取快递数量6，B小区需送快递数量10，需取快递数量5，C小区需送快递数量8，需取快递数量5，
若前往A、B、C 小区，需送快递数量为15+10+8＝33＞30，需取快递数量为6+5+5＝16＞15，前往 A，B，C 小区满足条件，
故答案为：A，B，C （答案不唯一）；
（2）前往A小区收益为：15×1+6×2＝27（元），前往B小区收益为：10×1+5×2＝20（元），
前往C小区收益为：8×1+5×2＝18（元），
前往D小区收益为：4×1+7×2＝18（元），
前往E小区收益为：13×1+4×2＝21（元），
28＞21＞20＞18，15+10+13＞30，6+5+4＝15，
送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是：A，B，E．
故答案为：A，B，E．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，正确进行计算是解题关键．
10．（2024秋 沙坪坝区校级期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 　6　．
【考点】一元一次不等式组的整数解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据所给不等式组有且仅有4个整数解，可得出a的取值范围，再结合关于m，n的二元一次方程组的解为整数，得出满足要求的整数a的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
解不等式7x﹣a≥1得，x；
解不等式得，x≤4，
因为此不等式组有且仅有4个整数解，
所以0，
解得﹣1＜a≤6．
解方程组得，．
因为此方程组的解为整数，
所以满足条件的整数有：0，6，
所以所有满足条件的整数a的和为：0+6＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 柯城区期末）解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解为﹣1＜x≤2．
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．（2024秋 临平区期末）以下为小颖在解不等式组时草稿纸上演草的过程：
解不等式②，2（2x+2）≤3x+1…第一步 4x+4≤3x+1…第二步 4x﹣3x≤1﹣4…第三步 x≤﹣3…第四步
（1）小颖发现不等式②解的不对，请指出是第 　一　步开始出现错误；
（2）请你完成本题的解答：
解：解不等式①，得 　x＞﹣2　，
解不等式②，得 　x≤2　，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为 　﹣2＜x≤2　．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目中的解答过程可知第一步出错了；
（2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知，
第一步开始出现错误，理由是等号右边的1没有乘6，
故答案为：一；
（2）解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤2，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
13．（2024秋 西湖区校级期末）已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解．
（1）分别求出m和n的取值范围；
（2）化简：|m+3|+|1﹣m|+|n+2|．
【考点】解一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程组的解．
【专题】运算能力．
【答案】（1）﹣3＜m＜1，n＜﹣2；
（2）2﹣n．
【分析】（1）解不等式组求得x、y，根据方程组的解都小于1可得关于m的不等式组，解不等式组可得m的取值范围；解不等式组可得关于n的范围，根据不等式组无解可得关于n不等式组，解不等式组可得n的范围；
（2）由（1）中m、n的范围，根据绝对值性质去绝对值符号，再去括号、合并同类项可得．
【解答】解：（1）解方程组得：．
依题意得：，解得：﹣3＜m＜1，
解不等式组得：x≥﹣5且x≤2n﹣1，
∵该不等式组无解，所以2n﹣1＜﹣5，
解得：n＜﹣2；
（2）﹣3＜m＜1，n＜﹣2，
则原式＝m+3+1﹣m﹣n﹣2＝2﹣n．
【点评】本题是考查解不等式组、解二元一次方程组，绝对值的化简，是中考常出现的题型．
14．（2024秋 青白江区期末）《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）共有2种购车方案．方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
【分析】（1）设每辆A型车和每辆 B 型车的售价分别是x万元、y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，由题意得18a+26（6﹣a）≥130，求解分析即可．
【解答】解：（1）设每辆A型车和每辆 B 型车的售价分别是x万元、y万元．，
解得，
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆．
由题意，得18a+26（6﹣a）≥130．
解得a≤3，∴2≤a≤3，a是正整数，a＝2或 a＝3．
∴共有2种购车方案．方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组在，正确列出算式是解题关键．
15．（2024秋 上城区期末）解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2、﹣1、0、1、2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式2x﹣1≤x+1，得：x≤2，
解不等式3x﹣5＜2（2+3x），得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
∴不等式组的整数解为：﹣2、﹣1、0、1、2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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