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曲靖市2024-2025学年春季学期教学质量监测
九年级数学 参考答案
一、选择题:本题共 15 题，每小题只有一个正确的选项，每小题 2 分，
共 30 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D B C A C B D D
题号 9 10 11 12 13 14 15
选项 A C A A D B B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 2分，共 8 分。
16.（2 a 1)(a 1) 17.六边形 18.20° 19.420
三、解答题：本大题共 8小题，共 62 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
1
20.（7 分）解：原式= 2 - 2 3-1- 2 …………………………5分
2
=1 ………………………………………………7分
21.（6 分）证明：∵AB//DE ∴∠B=∠D ……………………1分
∵BF=DC ∴BC-CF=DC-FC ∴BC=DF …………………………2分
在△ABC 和△EDF 中
A E

B D

BC DF
∴△ABC≌△EDF（AAS） …………………………………6分
22.（7 分）
解：设原计划每天悬挂 x盏灯笼，则实际每天悬挂 (x 50)盏灯笼. ……1分
300 400
根据题意得 ……………………………………4分
x x 50
解得： x 150
经检验 x 150是所列方程的解，且符合实际意义
此时 x 50 200
答：实际每天悬挂 200 盏灯笼. …………………………………7分
23.(6 分)解：（1）方法一，列表如下：
y c d e
x
a (a,c) （a,d ) (a,e)
b (b,c） (b,d) (b,e)
∴（x,y)所有可能出现的结果为：(a,c)，（a,d )，(a,e)， (b,c），(b,d)，(b,e)，它们
出现的可能性相等，一共有 6种.
答：（x,y）所有可能出现的结果共有 6种. ………………………………3分
方法二，画树状图如下：
∴（x,y)所有可能出现的结果为：(a,c)，（a,d )，(a,e)， (b,c），(b,d)，(b,e)， ,
它们出现的可能性相等，一共有 6种.
答：（x,y）所有可能出现的结果共有 6种. ……………………………………3分
(2)由列表（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共 6种，这些结果出现
的可能性相等.其中哪吒获胜的有 2种：(a,c), (b,e）.故哪吒获胜的概率
P 2 1 . …………………………………………6分
6 3
24.(8 分)（1）证明：∵AD//BC ∴∠DAC=∠BCA
∵CA 平分∠BCD ∴∠BCA=∠DCA
∴∠DAC=∠DCA ∴AD=DC
又∵BC=DC ∴AD=BC
∵AD//BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形
又∵AD=DC
∴四边形 ABCD 的菱形 ……………………………………4分
（2）解：∵ 四边形 ABCD 是菱形
1
∴OA=OC 且∠ACB=∠ACD= ∠BCD
2
∵∠BCD=60° ∴∠ACB=30°
∵AE⊥CB ∴△AEC 是直角三角形
1
又 ∵OE=1 ∴AC=2OE=2 ∴AE= AC=1
2
由勾股定理得
EC= AC 2 AE 2 4 1 3
s 1 3△AEC 3 1 2 2
3
∴△AEC 的面积为 2 …………………………………8分
25.(8 分）
解：（1）设 T型设备单价为 x元,R 型设备单价为 y元. …………………1分
4x 5y 3900
由题意，得 ………………………………… 2分
3x 2y 2050
x 350
解这个方程组，得
y 500
答：T型设备单价为 350 元,R 型设备单价为 500 元 ………… 4分
（2）设购买 T型设备 a台，则购买 R型设备（20-a)台，总费用为 w.
则w 350a 500(20 a) -150a 10000 …………………………… 5分
1
由题意得 a (20 a)，即 a 5，
3
∵两种设备均需购买，所以 a 1,
∴1 a 5， a为整数
∵ k 150 0
∴w随 a的增大而减小
∴当 a 5时，w最小 150 5 10000 9250 .此时购买 R型设备 15 台
答:当采购 T 型设备 5 台和 R 型设备 15 台时，总费用最低，为 9250
元. ……………………………………………………………… 8分
1 b c 4 b 1
26.（8 分）（8分）解：（1）由题可得 b 1 ，解得 2 2 c 4
∴该二次函数的解析式为 y x2 x 4 ………………………………… 3分
（2）T为定值，理由如下：
①当m n时，T 1 1 2； …………………………………………… 4分
②当m n时，∵m、n满足m2 + bm+ c = 0, n2 + bn + c = 0,
∴m2 -m 4 0,n2 n 4 0 2即m -m 4,n
2 n 4
∵ 4n2 2n 3 4n2 4n 4n 2n 3 16 4n 2n 3 2n 13；
2
同理， 4m 2m 3 2m 13
T 4n
2 2n 3 4m2 2m 3 2n 13 2m 13
∴ 2 4m 2m 3 4n2 2n 3 2m 13 2n 13
(2n 13)2 (2m 13)2
=
（2m 13)(2n 13) （2m 13)(2n 13)
4n2 52n 169 4m2 52m 169

（2m 13)(2n 13) （2m 13)(2n 13)
4n2 52n 169 4m2 52m 169

(2m 13)(2n 13)
4(n2 m2 ) 5（2 n m) 338

4mn 26m 26n 169
4(n2 m2 2mn) 8mn 5（2 n m) 338

4mn 2（6 m n） 169
4(n m)2 8mn 5（2 n m) 338

4mn 2（6 m n） 169
∴由题可知m，n可看作一元二次方程x
2 x 4 0的解
∴m n 1,mn 4
4 12T 8 4 52 1 338 426∴ 4 （- 4） 26 169 179
426
∴T为定值 2或 ……………………………………………… 8分
179
27.（12 分）
解（1）∵如图，在⊙O中， A D A D
∴∠ACD=∠ABD
在△ACE中，∠BEC=∠ACD+∠CAE
∴∠BEC =∠ABD +∠CAE； …………………………………… 3分
（2）如图，连接 OD，DA
∵DF 2 FA FB
DF FB

FA DF
又∵∠BFD=∠AFD
∴△FAD∽△FDB
∴∠ADF=∠B
∵OB=OD
∴∠B=∠BDO
∴∠ADF=∠BDO
∵AB为直径
∴∠BDA=90°即∠BDO+∠ODA=90°
∴∠ADF+∠ODA=90°即∠ODF＝90°
∴OD⊥DF
∵OD是⊙O半径
∴DF是⊙O的切线 ……………………………………………… 8分
（3）如图３：连接 OC，CP
∵AE=2，BE=6
∴AB=8，OA =4，OE=2
∵CD⊥AB
∴在 Rt△OED 中，
COS DOE OE 2 1
OD 4 2
∴∠DOE=60°同理∠COF=60°
∴∠DFO=90°- 60°=30°
∵在△ODF和△OCF中
OD OC

DOF COF

OF OF
∴△ODF≌△OCF
∴∠DFO=∠CFO=30°
又∵△PBD ∽ △PCA
∴∠DPB=∠CPB
又∵∠CPB=30°
∴∠DPB=∠CPB=∠DFO=∠CFO=30°
∴P，F两点重合
∴在Rt△ODP中，OP OD 4
sin OPD 1
8
2
∴ AP=OP-OA=8-4=4.
∴P到⊙O上的点的最大距离为 BF=8+4=12.
∴P到⊙O上的点的最小距离为 AF=4.
∴t 的取值范围是 4 t 12 . ………………………………………… 12 分

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