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第二十六章 反比例函数 单元测试
一、单选题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列表达式中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
3．反比例函数中，k与x的取值情况是（ ）
A．取全体实数 B．取全体实数
C． D．k、x都可取全体实数
4．下列函数中，其中是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．若反比例函数的图象经过点和，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．9
6．已知，点，在反比例函数（其中）的图象上，则，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．如图，已知线段的中点为，点、点都在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．一次函数与反比例函数相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（　　）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
11．密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
A．密度越大，深度h越大 B．若，则
C．密度均匀增加时，深度h的变化量相同 D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小
12．生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．酒精浓度越大，心率越高
B．心率与酒精浓度是反比例函数关系
C．酒精对这种鱼类的心率没有影响
D．当酒精浓度是时，心率是168次/分
二、填空题
13．点，都在函数的图象上，且，则 （填“”或“”）．
14．已知点，在反比例函数的图像上，则与的大小关系为 ；
15．已知是的反比例函数，且时，．则与的函数表达式是 ．
16．当蓄电池的电压为定值时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻的取值范围是 时，电流．
三、解答题
17．已知反比例函数，将代入函数表达式中，所得函数值记为；再将代入函数表达式中，所得函数值记为；然后将代入函数表达式中，所得函数值记为，如此继续下去．
(1)完成下表：
(2)根据上表的规律，猜想的值为______．
18．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)求点的坐标．
19．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点．
(1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像；
(2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围．
20．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示．
x 10 20 30 40 50
y 24 12 8 6 4.8
(1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式．
(2)当的长度为时，求弹簧秤的示数．
(3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B A B D B D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意；
B、是反比例函数，符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意；
D、是的反比例函数，不是x的反比例函数，不符合题意；
故选B．
2．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：（其中k是常数，且），找到可整理为（其中k是常数，且）的式子即可．
【详解】解：A．是正比例函数，故不符合题意；
B．整理为是正比例函数，故不符合题意；
C．是一次例函数，故不符合题意；
D．整理为是反比例函数，故符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】此题主要考查了反比例函数的定义．利用反比例函数的概念：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，自变量的取值范围是不等于0的一切实数，即可得出答案．
【详解】解：反比例函数（k为常数，）的自变量的取值范围是：．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解答本题的关键．
根据反比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：由反比例函数的定义知是反比例函数，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数自变量的值，先利用待定系数法求出函数解析式，再求出函数值为3时自变量的值即可得到答案．
【详解】解：把代入中得，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，先判断反比例函数的系数，确定反比例函数在每一象限的增减性，然后判断是否在同一象限，横坐标的大小，根据增减性即可判断出答案．
【详解】解：∵（其中），
∴，即反比例函数图象在二、四象限，
∴在每一象限，y随x的增大而增大，
∵A点和B点的横坐标分别为：和，，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，线段的中点表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设点，借助线段的中点为，，可知，，，从而得到，，表示出，将其代入反比例函数，得到，由题意可知，然后解得、，最后求得点．
【详解】解：设点，
线段的中点为，，
，
，
，
点、点都在反比例函数的图象上，
，，
即，
，
，
，
，，
．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系．
先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，把分别代入，求出，然后相加即可．
【详解】解：把代入，得
∴
把代入，得
∴
∴
故选B．
10．D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，先理解题意得，再结合反比例函数的图象性质得若减小，则增大，当时，，当时，则，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．
∴，
∴
若减小，则增大，故不符合题意；
∵，
∴不一定等于300，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意：
当时，，则，故D符合题意．
故选D．
11．D
【分析】此题考查了反比例函数的应用．直接观察函数图象，即可求解．
【详解】解：A、观察图象得：密度越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意；
B、观察图象得：若，则，故本选项错误，不符合题意；
C、观察图象得：密度均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意；
D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意；
故选：D
12．D
【分析】本题考查了函数图象、反比例函数，从函数图象中正确获取信息是解题关键．根据函数图象可得酒精浓度越大，心率越低，由此即可判断A和C错误；任意取两个点的坐标，计算横、纵坐标的乘积是否相等，由此即可判断B错误；根据函数图象即可判断D正确．
【详解】解：由函数图象可知，酒精浓度越大，心率越低，则选项A错误；
任意取两个点的坐标，，
∵，，
∴，
∴心率与酒精浓度不是反比例函数关系，则选项B错误；
由函数图象可知，酒精浓度越大，心率越低，
则酒精对这种鱼类的心率有影响，则选项C错误；
由函数图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，则选项D正确；
故选：D．
13．
【分析】本题考查的是反比例函数性质，根据反比例函数的性质可以确定双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，从而得出答案．
【详解】解：函数中，，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
，
在第四象限，B在第二象限，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键；
根据反比例函数的增减性即可求解；
【详解】解：∵反比例函数中的，
∴该函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
又，且点，都位于第二象限，
．
故答案为：
15．
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：设函数解析式为，
∵当时，，
∴；
∴；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电阻R，根据反比例函数的性质，求出结果即可．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
当时，，
解得：，
∵，
∴时，随R的增大而减小，
∴当时，．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查求反比例函数的函数值，数字类规律探究：
（1）根据题意，将自变量的值代入函数解析式，求出函数值，填写表格即可；
（2）由（1）中表格可知，函数值以，3，三个数为一组进行循环，进而求出即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
填表如下：
3 3
（2）由表格可知：函数值以，3，三个数为一组进行循环，
∵，
∴．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解；
（2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解；
（3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
，四边形为菱形，
，即轴，，
轴．
可设．
，
，，．
在中，，
．
．
．
．
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下．
（3）解：由题意，是的中点，，
．
轴，
的纵坐标为．
在反比例函数，
的横坐标为．
．
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键．
（1）根据题意，先将代入一次函数，求得，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得，根据描点法即可画出图像；
（2）将，代入反比例函数解析式，即可求得值，当时，观察图像即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，将代入，解得，
∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得，
∴ 反比例函数解析式为，
列出几组、的对应值：
描点连线，即可画出函数图像，如图：
（2）当时，，
根据图像可知，当时，．
故当时，的取值范围是．
20．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解；
（2）将代入（1）中解析式即可求解；
（3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断．
【详解】（1）解：是的反比例函数．
设函数表达式为，
将代入上式，得，
解得，
关于的函数表达式为；
（2）解：当时，．
答：弹簧秤的示数为；
（3）解：将代入中，得，
解得．
，
不可能等于2．

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