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中考押题卷：圆的对称性
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，，且∠AOB＝120°，则∠BOC的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
2．（2024秋 瑞安市校级期末）如图，在⊙O中，将弦AB绕圆心O顺时针旋转得到弦CD，若∠A＝35°，则∠COD的度数为（　　）
A．110° B．120° C．130° D．145°
3．（2024秋 西华县期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同圆或等圆中，等弦对等弧
C．优弧一定比劣弧长
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
4．（2024秋 南关区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
5．（2024 宁城县模拟）如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（　　）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 巴南区期末）如图，⊙O为四边形ADBC的外接圆，AB＝AC，若D是的中点，且DE＝2，AC＝8，则⊙O的半径为 　 　，BC＝ 　 　．
7．（2024秋 泗阳县期末）在⊙O中，弦AB＝3，圆心角∠A0B＝60°，则⊙O的半径为　 　．
8．（2024秋 阳谷县期中）在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数 　 　．
9．（2024 罗湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝40°，则∠AOE＝　 　．
10．（2024秋 金凤区期末）如图是一种古老的灌溉工具水车的平面示意图，其主体是一个圆形，被分成8等份，三角形OAB是水车的支架，水车的支架固定不动，主体可绕着圆心O旋转，已知∠AOB＝60°，若OC平分∠AOB，则∠BOD的度数为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 甘井子区期末）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AC＝DB，AC与DB交于点M．求证：MA＝MD．
12．（2024秋 增城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：．
13．（2024秋 西岗区期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且AB＝CD．求证：AC＝BD．
14．（2024秋 红塔区期中）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．
15．（2024秋 高坪区校级期中）如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：AD＝BE．
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
中考押题卷：圆的对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 雁塔区校级期末）如图，，且∠AOB＝120°，则∠BOC的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】由可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC，再结合图形和∠AOB＝120°即可解答．
【解答】解：∵，∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC，
又∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴3∠BOC+120°＝360°，
∴∠BOC＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
2．（2024秋 瑞安市校级期末）如图，在⊙O中，将弦AB绕圆心O顺时针旋转得到弦CD，若∠A＝35°，则∠COD的度数为（　　）
A．110° B．120° C．130° D．145°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质“等边对等角”以及三角形的内角和定理，可以求出∠AOB＝110°，由旋转的性质可知AB＝CD，由“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可知∠AOB＝∠COD，从而求解．
【解答】解：由条件可知∠B＝∠A＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
∴CD＝AB，
∴∠COD＝∠AOB＝110°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，解题的关键是由圆的性质“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”知道∠COD＝∠AOB，以及正确求出∠AOB的度数．
3．（2024秋 西华县期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同圆或等圆中，等弦对等弧
C．优弧一定比劣弧长
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据等弧、优弧、劣弧的定义以及圆心角、弦、弧之间的关系定理判断即可．
【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，说法错误，故选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误，故选项不符合题意；
C、优弧一定比劣弧长，说法错误，条件是同圆或等圆中，故选项不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确，故选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系以及圆的认识，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
4．（2024秋 南关区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　）
A．130° B．80° C．65° D．50°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答．
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，
∵，
∴∠BOC＝∠BOD＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．
5．（2024 宁城县模拟）如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（　　）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD D．MN＝3CD
【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，根据圆周角定理判断A；根据等边三角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．
【解答】解：连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，
∵，
∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；
∵OM＝MN，OM＝ON，
∴OM＝ON＝MN，
∴△OMN为等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵，
∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；
∵OE⊥CD，
∴，
∴，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，
∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 巴南区期末）如图，⊙O为四边形ADBC的外接圆，AB＝AC，若D是的中点，且DE＝2，AC＝8，则⊙O的半径为 　5　，BC＝ 　　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】5，．
【分析】连接AO并延长交BC于H点，连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，根据垂径定理的推论得OD⊥AB，则AE＝BE＝4，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，解方程得到⊙O的半径为5，再利用圆心角、弧、弦的关系，由AB＝AC得到，接着根据垂径定理的推论得到H⊥BC，BH＝CH，然后利用勾股定理得到BH2+OH2＝52，BH2+（5+OH）2＝82，则解方程组可求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：连接AO并延长交BC于H点，连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，
∵AC＝8，
∴AB＝8，
∵D是的中点，
∴OD⊥AB，
∴AE＝BEAB＝4，
在Rt△AOE中，（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径为5，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△OBH中，BH2+OH2＝52①，
在Rt△ABH中，BH2+AH2＝AB2，
即BH2+（5+OH）2＝82②，
②﹣①得25+10OH＝64﹣25，
解得OH，
∴BH，
∴BC＝2BH．
故答案为：5，．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
7．（2024秋 泗阳县期末）在⊙O中，弦AB＝3，圆心角∠A0B＝60°，则⊙O的半径为　3　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的判定定理证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案．
【解答】解：∵OA＝OB，∠A0B＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和等边三角形的判定和性质，根据题意证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
8．（2024秋 阳谷县期中）在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数 　60°或300°　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°；而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧；因此本题要分类讨论．
【解答】解：如图：
∵OA＝OB＝AB＝1，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弦AB所对弧的度数为60°或300°．
故答案为：60°或300°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和等边三角形的判定和性质，要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，以免漏解．
9．（2024 罗湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝40°，则∠AOE＝　60°　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】60°．
【分析】由圆心角、弧、弦的关系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，由平角定义即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵，∠COD＝40°，
∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣40°×3＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD．
10．（2024秋 金凤区期末）如图是一种古老的灌溉工具水车的平面示意图，其主体是一个圆形，被分成8等份，三角形OAB是水车的支架，水车的支架固定不动，主体可绕着圆心O旋转，已知∠AOB＝60°，若OC平分∠AOB，则∠BOD的度数为 　15°　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】15°．
【分析】因为水车主体是一个圆形，被分成8等份，因此可以求出每一等份的度数，由∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，由角度差即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC∠AOB＝30°，
∵∠COD＝360°÷8＝45°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确所求的各角和已知角度之间的和差关系．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 甘井子区期末）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AC＝DB，AC与DB交于点M．求证：MA＝MD．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AC＝DB，得，所以，所以∠DAM＝∠ADM，根据等边对等角即可得出结论．
【解答】证明：∵AC＝DB，
∴，
∴，
∴，
∴∠DAM＝∠ADM，
∴MA＝MD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是关键．
12．（2024秋 增城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】推理能力．
【答案】证明见解析过程．
【分析】根据圆心角、弧及弦之间的关系即可解决问题．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧及弦之间的关系是解题的关键．
13．（2024秋 西岗区期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E，且AB＝CD．求证：AC＝BD．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理，即可证明问题．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
14．（2024秋 红塔区期中）已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BC．
【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD．
在△AOD与△BOC中，
∵，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．
∴AD＝BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
15．（2024秋 高坪区校级期中）如图，在⊙O中，，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：AD＝BE．
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据全等三角形的判定和性质证明结论；
（2）求出OD，根据勾股定理即可求出CD．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE，
在△COD和△COE中，
，
∴OD＝OE，
∵OA＝OB，
∴AD＝BE；
（2）解：∵AD＝DO，r＝3，
∴AD＝DO，
∵CD⊥OA，
∴CD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
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