资源简介

中考押题卷：二次函数的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 包河区校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
2．（2024秋 平谷区期末）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）
A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟
3．（2024秋 枣强县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（　　）m．
A．18 B．20 C．22 D．30
4．（2024秋 金水区校级期末）在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度h（m）与起跳后时间t（s）的函数表达式为h＝﹣5t2+3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为h1，h2，h3，则（　　）
A．h1＞h2＞h3 B．h1＞h3＞h2 C．h2＞h1＞h3 D．h2＞h3＞h1
5．（2024秋 厦门期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负资摇绳、站立的位置相距10m，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是1m，绳子的最高点距离地面2m．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．
学生 A B C D E P
头顶离地高度的范围 1.51﹣1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75
学生头顶离地高度的范围将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为s（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求s的范围是（　　）
A．s＜8 B．s＜7 C．s＜6 D．s＜5
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 靖江市期末） 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 　 　m．
7．（2025 潍坊模拟）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 　 　．
8．（2024秋 洪雅县期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　m．
9．（2024秋 枣强县期末）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　．
10．（2024秋 九龙坡区期末）如图所示，某同学投掷铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x之间的关系是，则该同学投掷的水平距离是 　 　m．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）第十五届中国国际航空航天博览会在珠海举行，作为一名航迷的王兴同学关注到参展的某型号飞机在飞行表演过程中，先冲向高空，到达预定高度后，便开始向下俯冲，最终落回地面，整个飞行的轨迹可近似的看作一条如图所示的抛物线，设起飞的一瞬间为坐标原点，飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是多少？
12．（2024秋 西山区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，11）且与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，7），直线y＝﹣x+7与抛物线交于点B与点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接PB、PC，设P点横坐标为m，△PBC的面积为S．是否存在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）记抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点横坐标为n，求代数式T的值．
13．（2024秋 泉港区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）．
（1）若m＝0，请求出二次函数的表达式．
（2）二次函数的图象和直线都经过点（2，t），试求出t的值．
（3）已知点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该二次函数图象上，求证：n≤6．
14．（2024秋 清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 m 2 3 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）m＝ 　 　，n＝ 　 　；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标．
15．（2024秋 海陵区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣m）2+m的顶点P在第三象限，抛物线y＝﹣（x+2）（x+m）与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当抛物线y＝﹣（x+2）（x+m）的对称轴在y轴左侧时，求m的取值范围；
（3）连接AP、BP，求证：∠APB＝45°．
中考押题卷：二次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 包河区校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为（　　）
A．7 B． C． D．
【考点】二次函数的应用．
【专题】动点型；待定系数法；二次函数的应用；应用意识；创新意识．
【答案】D
【分析】当点P在BC上时，易得S＝PD2，整理可得S与t的函数关系式，求得当S＝6时，t的值，即可求得当点P在点B时S＝6时，t＝2，进而根据图2中的顶点坐标为（4，2），用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把（2，6）代入可得a的值，进而取S＝18，求得t的值，得到点B在点A时面积为18时，t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长．
【解答】解：在Rt△PCD中，CD，PC＝t，
∴S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2，
当S＝6时，6＝t2+2，
解得：t＝2（取正值），
∴BC＝2，
∴图2中的抛物线经过点（2，6），
由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2），
∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2，
将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2，
当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2，
解得t＝8或t＝0（舍去），
∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键．
2．（2024秋 平谷区期末）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）
A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
则，
解得，
∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
3．（2024秋 枣强县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（　　）m．
A．18 B．20 C．22 D．30
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
【解答】解：当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
4．（2024秋 金水区校级期末）在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度h（m）与起跳后时间t（s）的函数表达式为h＝﹣5t2+3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为h1，h2，h3，则（　　）
A．h1＞h2＞h3 B．h1＞h3＞h2 C．h2＞h1＞h3 D．h2＞h3＞h1
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】把t＝0.2，0.3，0.5分别代入函数解析式求出h的值比较即可．
【解答】解：当t＝0.2时，h1＝﹣5×（0.2）2+3×0.2＝0.4；
当t＝0.3时，h2＝﹣5×（0.3）2+3×0.3＝0.45；
当t＝0.5时，h3＝﹣5×（0.5）2+3×0.5＝0.25；
∵0.45＞0.4＞0.25，
∴h2＞h1＞3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是掌握二次函数的性质．
5．（2024秋 厦门期末）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负资摇绳、站立的位置相距10m，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是1m，绳子的最高点距离地面2m．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．
学生 A B C D E P
头顶离地高度的范围 1.51﹣1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75
学生头顶离地高度的范围将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为s（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求s的范围是（　　）
A．s＜8 B．s＜7 C．s＜6 D．s＜5
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，又由已知可得，（0，1），（10，1）在抛物线上，且抛物线顶点为（5，2），从而，进而可得，故抛物线的函数表达式为yx2x+1，将y＝1.64代入yx2x+1得，1.64x2x+1，求出x＝2或x＝8，则此次比赛中这6名学生站立的队列长度为：8﹣2＝6（m），即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则s＜6，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
由已知可得，（0，1），（10，1）在抛物线上，且抛物线顶点为（5，2），
∴．
∴．
∴抛物线的函数表达式为yx2x+1．
将y＝1.64代入yx2x+1得，1.64x2x+1，
∴x＝2或x＝8．
∴此次比赛中这6名学生站立的队列长度为：8﹣2＝6（m），即此时B、E两位学生分别站在队列两侧．
∴s＜6．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 靖江市期末） 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 　7　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】根据题意可得：把y代入中得：x2x+1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把y代入中得：x2x+1，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1（舍去），
∴此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是7m，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2025 潍坊模拟）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即∠ABP＝45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 　7　．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】7．
【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求P点坐标，就可求出点P到杯口AB的距离．
【解答】解：建立如图所示坐标系，作PE⊥x轴于点E，
各点坐标为：A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）．
设y＝a（x+4）（x﹣4），
把点C坐标代入解析式得：﹣12＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），
解得a＝1，
∴y＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，
∵∠ABP＝45°，∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠EPB＝∠EBP，
∴EP＝EB，
设P（x，y），
∴BE＝4﹣x，EP＝﹣y，
∴﹣y＝4﹣x，
即﹣（x2﹣16）＝4﹣x，
解得x1＝4（舍去），x2＝﹣3，
∴y＝9﹣16＝﹣7，
∴PE＝﹣y＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式．
8．（2024秋 洪雅县期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　10　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】根据已知易得：N点的坐标为（5，6）和M点的坐标为（﹣5，6），然后进行计算即可解答．
【解答】解：由二次函数y（x﹣5）2+6的图象可知，
当x＝5时，y＝6，
故N点的坐标为（5，6）；
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴M点的坐标为（﹣5，6），
∴MN之间的距离＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（m）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2024秋 枣强县期末）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6　．
【考点】二次函数的应用．
【专题】函数思想；待定系数法；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点为原点设出抛物线解析式，易得抛物线上点Q的坐标，代入抛物线解析式可得a的值，进而可得抛物线的解析式，取y＝4，求得x的两个值，取较大的x的值减去较小的x的值，结果即为汤面的直径PQ长．
【解答】解：以抛物线的顶点为原点，y轴为对称轴建立平面直角坐标系．
设抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由题意得：抛物线上点C的坐标为（6，8），
∴8＝a×62，
解得：a，
∴抛物线的解析式为：yx2，
当y＝4时，4x2，
解得：x1＝3，x2＝﹣3，
∴汤面的直径PQ长为3（﹣3）＝6（cm），
故答案为：6．
【点评】本题考查二次函数的应用．建立合适的平面直角坐标系并求出相应的抛物线解析式是解决本题的关键．
10．（2024秋 九龙坡区期末）如图所示，某同学投掷铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x之间的关系是，则该同学投掷的水平距离是 　10　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】铅球落地时，y＝0，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：当y＝0时，x2x0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝10，
∴他将铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 临潼区期末）第十五届中国国际航空航天博览会在珠海举行，作为一名航迷的王兴同学关注到参展的某型号飞机在飞行表演过程中，先冲向高空，到达预定高度后，便开始向下俯冲，最终落回地面，整个飞行的轨迹可近似的看作一条如图所示的抛物线，设起飞的一瞬间为坐标原点，飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣2.5x2+100x；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40米．
【分析】（1）先设出函数解析式，然后根据点（0，0），（5，437.5）和（10，750）在该函数图象上，即可求得该函数的解析式；
（2）将y＝0代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，然后即可求得飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵点（0，0），（5，437.5）和（10，750）在该函数图象上，
∴
解得，
∴该函数关系式为y＝﹣2.5x2+100x；
（2）当y＝0时，﹣2.5x2+100x＝0，
解得x1＝0，x2＝40，
∴飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40﹣0＝40（米），
答：飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是40米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
12．（2024秋 西山区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，11）且与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，7），直线y＝﹣x+7与抛物线交于点B与点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接PB、PC，设P点横坐标为m，△PBC的面积为S．是否存在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）记抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点横坐标为n，求代数式T的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】分式；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+7；
（2）S△PBC最大，P（）；
（3）﹣7．
【分析】（1）将点（2，11）和点C坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
（2）作PD⊥x轴于D，交BC于E，先根据求出点B横坐标，表示出PE的长，进而表示出△BCP面积的表达式，配方求得最值，进一步得出结果；
（3）由题意得n2﹣4n﹣7＝0，进而变形n5﹣4n2﹣8n3+4n2+6n﹣4＝﹣（n+4），进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+7；
（2）如图，
作PD⊥x轴于D，交BC于E，
由﹣x+7＝﹣x2+4x+7，
x1＝0，x2＝5，
∴xB＝5，
P（m，﹣m2+4m+7），E（m，﹣m+7），
∴PE＝（﹣m2+4m+7）﹣（﹣m+7）＝m2+5m，
∴S△PBCPE xB（m）2，
∴当m时，S△PBC最大，
当m时，y，
∴P（）；
（3）由题意得，
﹣n2+4n+7＝0，
∴n2﹣4n﹣7＝0，
∴n5﹣4n2﹣8n3+4n2+6n﹣4
＝n3（n2﹣4n﹣7）﹣n（n2﹣4n﹣7）﹣（n+4）
＝﹣（n+4），
∴t．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，分式的值等等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
13．（2024秋 泉港区期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）．
（1）若m＝0，请求出二次函数的表达式．
（2）二次函数的图象和直线都经过点（2，t），试求出t的值．
（3）已知点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该二次函数图象上，求证：n≤6．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）yx2+3．
（2）t的值为或．
（3）证明见解答．
【分析】（1）把m＝0代入即可求得答案；
（2）由题意得，解方程组即可求得答案；
（3）根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2m，再由抛物线上两点P、Q的纵坐标相等可求得a＝﹣2，则n＝2﹣4m+3﹣4m2＝﹣4（m）2+6，再运用二次函数的性质即可证得结论．
【解答】（1）解：当m＝0时，yx2+3，
∴二次函数的表达式为yx2+3．
（2）解：∵二次函数的图象和直线都经过点（2，t），
∴，
解得：，，
∴t的值为或．
（3）证明：∵x2m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2m，
∵点P（a+4，n），Q（a+4m，n）都在该抛物线上，
∴2m，
∴a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
∴P（2，n），
∴n＝2﹣4m+3﹣4m2＝﹣4（m）2+6，
∵﹣4＜0，
∴当m时，n取得最大值6，
∴n≤6．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14．（2024秋 清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 m 2 3 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）m＝ 　1　，n＝ 　6　；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）1；6；
（2）A（，）．
【分析】（1）根据题意可得：抛物线的顶点坐标为（4，8），从而可得，然后进行计算可得，从而可得yx2+4x，最后把（m，），（6，n）代入表达式进行计算，即可解答；
（2）把两个函数解析式联立成方程组，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（4，8），
∴，
解得：，
∴yx2+4x，
当x＝6时，y62+4×6＝﹣18+24＝6，
∴n＝6，
当y时，x2+4x，
解得：x＝1或x＝7（舍去），
∴m＝1，
故答案为：1；6；
（2），
解得：，，
∵O（0，0），
∴A（，）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2024秋 海陵区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣m）2+m的顶点P在第三象限，抛物线y＝﹣（x+2）（x+m）与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当抛物线y＝﹣（x+2）（x+m）的对称轴在y轴左侧时，求m的取值范围；
（3）连接AP、BP，求证：∠APB＝45°．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）点P（m，m）；
（2）m＞﹣2；
（3）证明见解答．
【分析】（1）由抛物线的表达式即可求解；
（2）由题意得：抛物线的对称轴为直线x（﹣2﹣m）＜0，则m＞﹣2；
（3）在△APH中，设PN＝3x，则HN＝x，则AN＝6x，则AH＝6x﹣x＝5x，用直角三角形的方法求出函数值即可．
【解答】（1）解：由抛物线的表达式知，点P（m，m）；
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线x（﹣2﹣m）＜0，则m＞﹣2；
（3）证明：由抛物线的表达式知，点B（0，﹣2m），点A（﹣m，0），
过点P作PN⊥x轴于点N，PB交x轴于点H，
由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝3x﹣3m，则tan∠NHP＝3，
同理可得，直线PA的表达式为：y（x+m），则tan∠NAP，则sin∠NAP，
在△APH中，设PN＝3x，则HN＝x，则AN＝6x，则AH＝6x﹣x＝5x，
作HT⊥AP于点T，则HT＝AH sin∠NAP4x，
在Rt△HNP中，PHx，
则sin∠APB＝HT：PH：，
∴∠APB＝45°．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑