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中考押题卷：二次函数与一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，直线y1＝kx+h与抛物线交于点A（m，n），B（p，q），则不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为（　　）
A．x＜m或x＞P B．m＜x＜p C．m≤x≤p D．x≤m或x≥p
2．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过原点
B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）
C．图象与x轴无公共点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
3．（2024秋 黄埔区期末）如图，抛物线与直线y2＝ax﹣b交于点A（1，0）和点B（4，3），则当y1＞y2时，x的取值范围为（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．1＜x＜4 D．x＜1或x＞4
4．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　）
A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 盐城期末）抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为 　 　．
7．（2024秋 泉港区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应关系列表如下，则关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7的解为 　 　．
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
8．（2024秋 仪征市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　 　．
9．（2025 登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　 　．
10．（2024秋 扬州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3
则方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2025 柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x．
（1）求当函数值y＝0时，自变量x的值；
（2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值．
12．（2025 崇明区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，与y轴相交于点Q．
（1）求点P、Q的坐标；
（2）将该二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求sin∠OMQ的值．
13．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求a的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后与x轴恰好只有一个交点，求m的值．
14．（2024秋 南川区期末）如图，二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AC，AD，CD．
（1）求B点的坐标；
（2）求△ACD的周长．
15．（2024秋 廉江市期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，线段PC交x轴于点D，S△PAD＝S△CAD，求点P的坐标．
中考押题卷：二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西山区校级期末）如图，直线y1＝kx+h与抛物线交于点A（m，n），B（p，q），则不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为（　　）
A．x＜m或x＞P B．m＜x＜p C．m≤x≤p D．x≤m或x≥p
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】结合图象可直接得出答案．
【解答】解：由图象可得，不等式ax2+bx+c＜kx+h的解集为m＜x＜p．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024秋 玄武区期末）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过原点
B．图象的顶点坐标为（﹣1，3）
C．图象与x轴无公共点
D．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴该函数图象过（0，﹣5），故选项A错误，不符合题意；
该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项B错误，不符合题意；
当y＝0时，0＝﹣2（x+1）2﹣3，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意；
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2024秋 黄埔区期末）如图，抛物线与直线y2＝ax﹣b交于点A（1，0）和点B（4，3），则当y1＞y2时，x的取值范围为（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．1＜x＜4 D．x＜1或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】观察函数图象即可求解．
【解答】解：两个函数的交点的横坐标为：x＝1或4，
故当y1＞y2时，即抛物线在直线的上方，
观察函数图象知，此时x的取值范围为：x＜1或x＞4，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），此类题目的关键是：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
4．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象分析即可．
【解答】解：∵当y＞0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向下，故A、B、D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　）
A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3），
∴不等式ax+bx+c＞kx+m为：x＜﹣3或x＞0，
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键，
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 盐城期末）抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为 　0≤x≤8　．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】0≤x≤8．
【分析】直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3），（7，3）两点，
∴把抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）沿x轴向右平移1个单位后的图象经过（0，3），（8，3），
即抛物线y＝a（x﹣h﹣1）2+k的图象经过（0，3），（8，3），
∴关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≥3的解集为：0≤x≤8．
故答案为：0≤x≤8．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，二次函数的平移．掌握二次函数与不等式关系是关键．
7．（2024秋 泉港区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应关系列表如下，则关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7的解为 　x1，x　．
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】x1，x．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则当x＝0和x＝2时，y＝﹣7，所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x1＝0，x2＝2，若把关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7看作关于（2x﹣1）的一元二次方程，则2x﹣1＝0或2x﹣1＝2，然后求出x得到关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7的解．
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣3，6），（5，6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝0和x＝2时，y＝﹣7，
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x1＝0，x2＝2，
把关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7看作关于（2x﹣1）的一元二次方程，
∴2x﹣1＝0或2x﹣1＝2，
解得x或x，
即关于x的方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝﹣7的解为x1，x．
故答案为：x1，x．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．（2024秋 仪征市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若﹣4＜b＜1，则m的取值范围是 　﹣2＜m＜3　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2＜m＜3．
【分析】由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，即b＝﹣（m+1），即可求解．
【解答】解：由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，
即b＝﹣（m+1），
则﹣4＜﹣（m+1）＜1，
解得：﹣2＜m＜3，
故答案为：﹣2＜m＜3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求函数的表达式是解题的关键．
9．（2025 登封市一模）在平面直角坐标系中，若将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，则所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是 　2024　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】2024．
【分析】由题意得，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023），令（x+1）（x﹣2023）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2023，则可得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）（x﹣2023）﹣4的图象向上平移4个单位长度，所得新函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣2023），
令（x+1）（x﹣2023）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2023，
∴所得新函数的图象与x轴两交点之间的距离是2023﹣（﹣1）＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2024秋 扬州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3
则方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是　4　．
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】4．
【分析】先根据所给数据求出对称轴，进而求出点（﹣1，5）在抛物线上的对称点，点（﹣1，5）及其对称点的横坐标即为方程的解，然后即可求出和．
【解答】解：点（1，﹣3），（3，﹣3）均在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
当x＝﹣1时，y＝5，
∴点（﹣1，5）关于对称轴的对称点为点（5，5），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝5的解是x1＝﹣1，x2＝5．
方程ax2+bx+c＝5的所有解的和是﹣1+5＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2025 柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x．
（1）求当函数值y＝0时，自变量x的值；
（2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝2；
（2）函数有最小值，函数最小值为﹣1．
【分析】（1）把y＝0代入y＝x2﹣2x，然后解关于x的一元二次方程即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2；
∴当函数值y＝0时，自变量x的值为0或2；
（2）因为a＝1＞0，开口向上，所以函数有最小值．
y＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
此函数最小值为﹣1．
【点评】本题考查了求自变量的值，二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
12．（2025 崇明区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，与y轴相交于点Q．
（1）求点P、Q的坐标；
（2）将该二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求sin∠OMQ的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；解直角三角形；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）P（1，﹣4），Q（0，﹣3）；
（2）．
【分析】（1）先利用配方法把一般式配成顶点式得到y＝（x﹣1）2﹣4，则根据二次函数的性质得到P点坐标，然后计算自变量为0所对应的函数值得到Q点的坐标；
（2）把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移3个单位经过坐标原点，则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x，再解方程x2﹣2x＝0得M（2，0），接着计算出MQ的长，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴Q点的坐标为（0，﹣3）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点Q的坐标为（0，﹣3），
∴把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移3个单位经过坐标原点，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x，
当y＝0时，x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∴M（2，0），
∴MQ，
∴sin∠OMQ．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和解直角三角形．
13．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求a的值和二次函数的对称轴．
（2）若把该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后与x轴恰好只有一个交点，求m的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）a＝1，直线x＝1；
（2）4．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3中可求出a＝1，则二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，然后利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，从而得到二次函数图象的对称轴；
（2）根据抛物线的几何变换得到平移后的函数图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，再根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3+m）＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得﹣4＝a﹣2a﹣3，
解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1；
（2）该函数图象向上平移m（m＞0）个单位长度后所得函数图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵平移后的二次函数图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3+m＝0有2个相等的实数解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3+m）＝0，
解得m＝4，
即m的值为4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
14．（2024秋 南川区期末）如图，二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AC，AD，CD．
（1）求B点的坐标；
（2）求△ACD的周长．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】（1）B（1，0）；
（2）．
【分析】（1）令y＝0，得到x2+4x﹣5＝0，解方程即可求得点B的坐标；
（2）把y＝x2+4x﹣5化成顶点式，求得顶点D的坐标，令x＝0，求得y＝﹣5，即可求得点C（0，﹣5），分别求出AC，AD，DC即可出△ACD的周长．
【解答】解：（1）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
令y＝0，得：x2+4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴B（1，0）；
（2）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴D（﹣2，﹣9），
由（1）知点A的坐标为（﹣5，0），
∴，，，
∴△ACD的周长．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
15．（2024秋 廉江市期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，线段PC交x轴于点D，S△PAD＝S△CAD，求点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）（1，3）．
【分析】（1）利用交点式直接写出二次函数解析式；
（2）先确定C点坐标，再利用三角形面积公式得到点P和点C到x轴的距离相等，则P点的纵坐标为3，然后解方程x2﹣2x﹣3＝3得P点坐标．
【解答】解：（1）二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵S△PAD＝S△CAD，
∴点P和点C到x轴的距离相等，
∴P点到x轴的距离为3，
∵点P在第一象限，
∴P点的纵坐标为3，
当x＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，
解得x1＝1（舍去），x2＝1，
∴P点坐标为（1，3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
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