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第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.2　全称量词与存在量词
第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识　探新知
知识点1　全称量词命题的否定
全称量词命题p 命题p的否定 结论
x∈M，x具有性质p(x) __________________________ 全称量词命题的否定是存在量词命题
知识点2　存在量词命题的否定
存在量词命题p 命题p的否定 结论
x∈M，x具有性质p(x) ___________________________ 存在量词命题的否定是全称量词命题
x∈M，x不具有性质p(x)
x∈M，x不具有性质p(x)
关键能力　攻重难
●题型一　全称量词命题的否定
例1：写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
[分析]　把全称量词改为存在量词，然后否定结论．
[解析]　(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．
(3) a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)存在被5整除的整数，末位不是0.
[归纳提升]
归纳提升：
1．全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
2．常见词语的否定
词语 词语的否定
等于 不等于
大于 不大于(即小于或等于)
小于 不小于(即大于或等于)
是 不是
都是 不都是
〉对点训练1
写出下列全称量词命题的否定：
(1) x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)所有分数都是有理数；
(4)任意两个等边三角形都相似．
[解析]　(1)该命题的否定： x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|<2.
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．
●题型二　存在量词命题的否定
例2：写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
[归纳提升]
归纳提升：
1．存在量词命题否定的方法及关注点
(1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．
2．对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定．
〉对点训练2
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2) x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小．
[解析]　(1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题． x∈{x|x是无理数}，x2是有理数．
(3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．
●易错警示　写命题的否定时忽略隐含的量词
例3：写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位是5；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
[错解]　(1)可以被5整除的数，末位不是5；(2)能被3整除的数，不能被4整除．
[辨析]　对于(1)，原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定不正确，(2)的错误与(1)相仿．实际上，(1)(2)均为省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词．
[正解]　(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是5.
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．
[点评]　由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“ x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“ x∈M， p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．
课堂检测　固双基
1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
[解析]　全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，可排除A、B.故选D.
2．命题“ x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A． x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C． x∈R，x3－2x＋1＝0
D． x∈R，x3－2x＋1≠0
[解析]　存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“ ”应改为全称量词“ ”，可排除B.故选D.
3．命题“ x∈Z，x∈R”的否定是( )
A． x∈Z，x R B． x∈Z，x∈R
C． x Z，x R D． x∈Z，x R
[解析]　全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“ x∈Z，x∈R”的否定是 x∈Z，x R.故选D.
4．命题“ x∈A，|x|＋1≥1”的否定是_____________________.
[解析]　命题“ x∈A，|x|＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是“ x∈A，|x|＋1<1”．
x∈A，|x|＋1<1
5．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) n∈A，n<12；
(2) x∈{x|x是奇数}，x∈A.
[解析]　(1)“ n∈A，n<12”的否定是“ n∈A，n≥12”．
此命题是真命题．
(2)“ x∈{x|x是奇数}，x∈A”的否定是“ x∈{x|x是奇数}，x A”．
此命题是假命题．第一章　§2　2.2　第2课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．“ m，n∈Z，m2＝n2＋2 024”的否定是( )
A． m，n∈Z，m2＝n2＋2 024
B． m，n∈Z，m2≠n2＋2 024
C． m，n∈Z，m2≠n2＋2 024
D．以上都不对
[解析]　命题的否定是 m，n∈Z，m2≠n2＋2 024.故选C.
2．“a2＋b2≠0”的含义为( )
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
[解析]　a2＋b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0.故选C.
3．若命题p：x∈(A∩B)，则命题p的否定是( )
A．x A且x B B．x A或x B
C．x A且x∈B D．x∈(A∪B)
[解析]　命题p：x∈(A∩B)是指x∈A且x∈B，因此其否定为x A或x B.故选B.
4．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；命题p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；命题p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；命题p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： x∈R，x2＋x＋2≤0；命题p的否定： x∈R，x2＋x＋2>0
[解析]　A正确，B正确，C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，D正确．故选C.
二、填空题
5．若命题p： a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则命题p的否定： a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解　.
[解析]　命题p的否定： a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．
6．若命题“ x∈，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是 m≥　.
[解析]　命题“ x∈，x＋m<0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“ x∈，x＋m≥0”，解得m≥.
三、解答题
7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有一个实数x，使x3＋1＝0；
(2)四边形的对角线不都互相垂直；
(3)有一个点(x，y)，满足y＝2x＋1.
[解析]　(1)命题的否定： x∈R，x3＋1≠0；因为x＝－1时，x3＋1＝0，故原命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直；原命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：对所有的点(x，y)，都不满足y＝2x＋1；原命题的否定为假命题．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定为( )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
[解析]　命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选B.
2．(多选题)若“ x∈M，x2>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是( 　 )
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[2,3]
[解析]　因为命题“ x∈M，x>3”为假命题，所以命题“ x∈M，x≤3”为真命题，可得M {x|x≤3}；解不等式x2>x，可得x<0或x>1，因为命题“ x∈M，x2>x”为真命题，所以M {x|x<0或x>1}．
因为{x|x<0或x>1}∩{x|x≤3}＝{x|x<0或1二、填空题
3．命题p： a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则命题p的否定为 a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解　.
4．以下四个命题：
① x∈R，－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中假命题的序号为 ①②③④　.
[解析]　因为x＝1时，－3×1＋2<0.
所以①为假命题；
当且仅当x＝±时，x2＝2，
所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；
对 x∈R，x2＋1>0，所以③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
所以④为假命题．
所以①②③④均为假命题．
三、解答题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析]　因为“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，所以它的否定“ m∈R，使得A∩B＝ ”为真命题，当a＜0时，A＝{x|0≤x≤a}＝ ，符合A∩B＝ ；当a≥0时，因为m2＋3＞0，所以由 m∈R，A∩B＝ 可得a＜m2＋3，对于 m∈R恒成立，因为m2＋3≥3，所以0≤a＜3.
综上，实数a的取值范围为(－∞，3)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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