资源简介

(共41张PPT)
第一章　预备知识
§2 常用逻辑用语
2．1　必要条件与充分条件
课标要求
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．
2．理解充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的意义．
3．掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法.
核心素养
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容，培养学生数学抽象的核心素养．
2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法．
3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分性和必要性，培养学生逻辑推理的核心素养.
必备知识　探新知
知识点1　必要条件、充分条件和充要条件
命题
真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是真命题
“若q，则p”是真命题
推出
关系 __________ __________且_________记作__________
条件
关系 q是p的___________
p是q的___________ p是q的_________________
简称p是q的___________
p q
p q
q p
p q
必要条件
充分条件
充分且必要条件
充要条件
知识点2　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
关键能力　攻重难
●题型一　必要条件
例1：(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是( 　 )
A．x<0 B．x≥0或x≤－1 　　
C．x>0 D．x≤－1
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
①若|x|＝|y|，则x＝y；
②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；
[答案]　(1)B
[归纳提升]
归纳提升：
必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是
p的必要条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不
是p的必要条件．
〉对点训练1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1.
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12.
(3)若a是无理数，则a是无限小数．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
●题型二　充分条件
例2：(1)设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( )
A．x>3 B．x<3
C．x>4 D．x<4
(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
①若a∈Q，则a∈R；
②若x>1，则x2>1；
③若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
④若△ABC中，若A>B，则BC>AC；
⑤已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
④由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC.因此p q，所以p是q的充分条件．
⑤因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p q，
所以p是q的充分条件．
[归纳提升]
归纳提升：充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是
q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不
是q的充分条件．
〉对点训练2
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
所以p q，所以p是q的充分条件．
●题型三　充分条件、必要条件及充要条件的判断
例3：(1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[归纳提升]
归纳提升：充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
〉对点训练3
设A、B为两个互不相同的集合，命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B，则p是q的________条件．( )
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分又不必要
[解析]　若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．故选B.
●题型四　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例4：已知p：－4A．(－1,6) B．[－1,6]
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
[分析]　可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．
[归纳提升]
归纳提升：
根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
条件类别 集合M与N的关系
p是q的充分条件 M N
p是q的必要条件 M N
〉对点训练4
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析]　由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时3a2，则x<－4或x≥－2，
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
●易错警示　误将充分条件当作充要条件
例5：给出下列各组条件：
①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x>2或x<－1，q：x<－1.
其中p是q的充要条件的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
[辨析]　误将充分条件当作充要条件，当p q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p q与q p同时成立，才能称p是q的充要条件．
[点评]　对于两个条件A，B，若A B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.
课堂检测　固双基
1.“a＋b>2c”的一个充分不必要条件是( )
A．a>c或b>c　　　　 B．a>c或bC．a>c且bc且b>c
[解析]　由a>c且b>c可推得a＋b>2c，但当a＋b>2c时，不一定能推得a>c且b>c.故选D.
2．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
[解析]　因为“x3．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：
充要条件①____________________
充要条件②______________________
(写出你认为正确的两个充要条件)
4．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________.
[解析]　因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(2，＋∞)的真子集，所以m>2.
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
m>2
5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
[解析]　在(1)中，p q，所以p是q的充要条件．第一章　§2　2.1
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．aA．a＋b<0 B．a－b>0
C．<0 D．<－1
[解析]　a则a＋b<0是a2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　因为a＝2 (a－1)(a－2)＝0，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件；但(a－1)(a－2)＝0，解得a＝1或a＝2，推不出a＝2，故a＝2不是(a－1)(a－2)＝0的必要条件．故选A.
3．设x∈R，则“x>2或x<－2”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵“x>2或x<2” “|x|>1”，但|x|>1x>2或x<－2，∴x>2或x<＝2是|x|>1的充分不必要条件．故选A.
4．已知x∈R，则{x|x<－1}是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　{x|x<－1} ，反之不成立，
所以“{x|x<－1}”是“”的充分不必要条件．故选A.
5．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
[解析]　命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为对所有的x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C.
6．(2023·北京卷) 若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　由xy≠0时x＋y＝0 x＝－y ＋＝－2；因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.∴xy≠0时＋＝－2≠x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C.
二、填空题
7．用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的 必要　条件．
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 充分　条件．
8．下列说法正确的是 ②④　.
①x2≠1是x≠1的必要条件；
②x>5是x>4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2<4是x<2的充分不必要条件．
[解析]　由x2≠1 x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．
9．已知p：x<8，q：x[解析]　因为p：x<8，q：x三、解答题
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
[证明]　方法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
方法二：< －<0 <0.
由条件x>y y－x<0，故由<0 xy>0.
所以< xy>0，
即<的充要条件是xy>0.
B　组·素养提升
一、选择题
1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
[答案]　B
2．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )
A．0C．a≤1 D．0[解析]　方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则解得a<0；若方程两根均负，则解得0方法二(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.
3．(多选题)有以下说法，其中正确的为( 　 )
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
[解析]　x∈Ax∈(A∩B)，故B错，A、C、D都正确．故选ACD.
4．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有( 　 )
A．A∪B＝B B．( UA)∩B＝
C． UA UB D．A∪ UB＝U
[解析]　由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD.
二、填空题
5．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中 ①③④　是a＋b>0的充分条件．(填序号)
6．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的 充要　条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
[解析]　A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．
7．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为_[3，＋∞)__；一个必要不充分条件可以为_[0，＋∞)(答案不唯一)__.
[解析]　若一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根x1，x2，则等价于
得即a≥2，则成立的充分不必要条件为[2，＋∞)的真子集，则[3，＋∞)满足条件；成立的必要不充分条件要真包含[2，＋∞)，则[0，＋∞)满足条件．
三、解答题
8．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　存在．由4x＋p<0得x<－，如图在数轴上
画出不等式x>2或x<－1，由数轴可得，当－≤－1时，即p≥4时，由x<－≤－1 x<－1 x>2或x<－1.故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．
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