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2025年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类训练题（附答案）
一、二次函数与图形面积问题综合压轴题
1．已知二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数表达式；
(2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为．
①当时，求点P的坐标；
②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
2．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
3．【问题背景】
如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，于轴交于点，以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，恰好点落在抛物线上．
（1）直接写出点坐标，并求抛物线的函数表达式；
【初步探索】
（2）如图2所示，点为线段的中点，点为线段上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值；
【深度探究】
（3）如图2所示，连接交于点，在满足（2）最值的条件下，求．
4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值；
(3)如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值．
二、二次函数与角度问题综合压轴题
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标；
(3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数的图像交轴于，两点，与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点是函数图像位于第四象限上的动点，
①当时，求点坐标；
②过点作交于点，求的最大值．
8．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
三、二次函数与特殊四边形综合压轴题
11．已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上一点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)作抛物线关于直线上一点对称的函数图象，且与只有一个公共点（在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标．
13．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
14．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点关于抛物线的对称点存在．
①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由；
15．实践与探究
为了适应辽宁新中考，我校2024届毕业生成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究学习二次函数问题的集体智慧结晶，期间他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】：（1）他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，通过计算直接写出该抛物线解析式为________；（写成顶点式）
【应用】：（2）按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过？请通过计算进行说明．（货船看作长方体）
【探究】：（3）探究：该课题学习小组为进一步探索拋物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为线段上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
一、二次函数与相似三角形综合压轴题
16．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值．
17．如图，直线过定点，抛物线与x轴交于两点，与轴负半轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，在抛物线上，过点的直线：交线段于点，交轴于点，交抛物线于点，若，求的值；
(3)如图，是线段上一个动点，点在线段上，且，若有且只有两个不同的点使和相似，求的值．
18．已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．
①求线段的最大长度；
②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
(3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，已知点在轴负半轴，点在轴正半轴上，点坐标为，已知，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，设点是抛物线上在第一象限内的动点（不与，重合），过点作，垂足为点，点在运动的过程中，以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；
(3)若的平分线所在的直线交轴于点，过点任作一直线分别交射线，（点除外）于点，，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．（1）解：的图象过点，
，
，
解得：，
二次函数表达式为：；
（2）解：二次函数表达式为：，
二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点，
点，点，点，
设点，
，
，
①，
，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
②，
当时存在最大值，最大值为12.
2．（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
3．解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点，
令，则，
∴，
∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线中得，
，解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，
∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动，
∴当时，的值最小，
∵，点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点于点重合时，的值最小，最小值为；
（3）根据上述计算可得，，
由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
4．（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴ ．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则 ，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知 ．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
5．（1）解：∵抛物线经过，两点
∴，
解得，
∴抛物线，
∴顶点；
（2）解：如图，过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F；
可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，，
∴ ，
将，代入抛物线，
解得；
（3）解：由抛物线，可得顶点，
联立抛物线与：，解得或，
∴点，
∵顶点，，
所以直线，
过点P作x轴平行线交的延长线于点M，可得，
∴，
∴，
当时，，
∴或，
解得或或．
6．（1）解：代入和，得，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
，
，
，
，
又，
，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得：，
直线的解析式为；
作交于点，轴交轴于点，交于点，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由题意得，，
，
设点P的坐标为，则点N的坐标为，
，
解得：，
，
点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
令，则，
解得：，，
，
如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，，
，
由（2）中的结论得，，
，
，
直线上存在符合题意的点，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
如图，连接、，过点作交于点，
，，
轴，
，，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
直线上也存在符合题意的点，
又点在抛物线上，
点与点重合，即；
综上所述，点P的坐标为或．
7．（1）解：∵二次函数的图像交轴于，两点，与轴交于点，且，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：①过点A作于，延长交轴于点，
∵，
∴，
由题意得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线表达式为，
∴，
解得： ，
∴直线表达式为，
联立抛物线表达式得：，
解得：或（舍），
∴；
②过点P作于点T，过点P作交于，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
所以同上可求：直线表达式为：
设，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
∴．
8．（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
9．（1）解：令得，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得
，
解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
则，
∴，
，
，，
，，
，
如图过点P作y轴的平行线交于点E，
∵，
∴，
，
，
∴
设，
则，
，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点P的坐标为，
作点B关于对称轴的对称点，
∴，
∴当P，Q，共线时，取得最小值，
∴的最小值为；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，
且，
设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，
则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，
，
新抛物线经过点B，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，
如图，
过点作轴交于，过点作直线交轴于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
①当在射线的下方时，如图，
当轴时，
，
，
，
联立，
解得：，，
，
，
解得：，，
；
②当在射线的上方时，如图，
直线交轴于，
由①得，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
，
当时，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是此方程的根；
，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
；
综上所述：的坐标为或．
10．（1）解：令得，，则，，
∵，
∴，
∴，
把代入得，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，解得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，解得，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
代入，得，解得，
∴直线解析式为，
∵轴，
∴，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的周长为 ，
∴当时，的周长取得最大值，此时，，
∴，
连接，，
∵作轴，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当在上时，最小，
∵，，
∴的中点G坐标为，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，，
则新抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，解得或，
∴，
故新抛物线的表达式为：，
联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或，
∴点，
∴设直线线的表达式为：，
当点在点下方时，
∵，
∴，
由，，得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立，解得或，
∴，
当点在点的上方时，取点，则轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，，得，直线的表达式为：，
∴直线的表达式为：，
联立，解得或，
∴，
综上所述，当时，点Q的坐标为或．
11．（1）解：∵二次函数，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入中得：，
∴，
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）解：分两种情况：
①点P在的下方时，如图1，
当时，，
∴，，
设的解析式为：，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴点P的坐标为；
②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
同理，的解析式为：，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
分三种情况：
①如图3，过点P作轴于F，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴点P的横坐标为，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为；
②如图4，过点P作轴于G，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或1，
∴点P的横坐标为1，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为4；
③如图5，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，，
∵，，
∴点Q的横坐标是或；
综上，点Q的横坐标是或4或或．
12．（1）解：将代入，
可得：，
点的坐标为，
，
点、的坐标分别为，，
把点，的坐标代入，
可得：，
解得：
抛物线的解析式为；
（2）解：如下图所示，连接，过作，交于点，
轴，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：当时，
可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
与关于中心对称，
整理，
可得：，
的顶点为，
设的顶点坐标为，
则有，
解得：，
的顶点为，
为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，
设，，
点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时：
当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
解得：，，
点的坐标为；
当点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
解得：，，
点的坐标为，
当为平行四边形的对角线时：
中点为，中点为，
，，
解得：，，
点的坐标为；
综上所述，的坐标为或或．
13．（1）解：把和代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，
解得：
∴
设直线的解析式为，把，点的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为
点P为直线上方抛物线上的点，
设，
，
，
当时，，
；
（3）解：∵
将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，
∴，
的对称轴为.
∵，，
∴，
如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F，
∵D在的对称轴上，
，
∵，，
∴，
，，即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点；
如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F，
∵D在的对称轴上，
∴，
，
，即，
，即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；
当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为，
依意得：，解得，
又，
，
解得：，
联立，
解得：，
∴点E的坐标为或.
综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形．
14．（1）解：把点，点的坐标代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）存在，点的坐标为，理由如下：
假设存在点关于抛物线的对称点，
∵点在抛物线的对称轴上
∴，
又∵的中点在抛物线上，且，
∴在抛物线上，
对于，当，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
（3）①设点关于抛物线的对称点为，
∴的中点为，
∵的中点在抛物线上，
∴，
∴，
则为所有实数，点的坐标为；
②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵对称轴为直线，，
∴，
由①可知，，，
∴，，，
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，解得或，
此时，或，；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．
15．解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：
，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）∵船的宽为，
∴，
当时，，
∵，
∴船能通过；
（3）①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为；
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
∴是等腰直角三角形，
联立，解得，，
∴，
∵G为线段上一动点，
∴，
如图，
分以下两种情况讨论：
当时，，，则轴，
∵，
∴H点的纵坐标为5，
∴，
解得或，
∵G点在线段上，
∴；
当时，，点为的中点，
∴，
设，，
∴，
解得或，
∵G点在线段上，
∴；
综上所述：G点坐标为或．
16．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，即，
∵，，
∴，，，
∴为等边三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
连接、，
∵与相似，
∴当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的横坐标为；
当时，，即，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去）；
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或；
（3）解：设，，，
由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，
设直线的解析式可得，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵直线和交于点，
∴，
由①可得：，由②可得：，
∴，
整理可得：
∴．
17．（1）解：∵，
∴当时，，
∴定点，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
把代入得，得到，
∴，
令，则，
令，则，
∴，，
联立，整理得，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
过作轴，过作轴交于，则，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∵过点的直线：交线段于点，
∴，
∴；
（3）解：令，解得，令，则，
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴设直线解析式为，代入可得，
解得，
∴直线解析式为，
设，
过作于，则，，
∴，
∵是线段上一个动点，点在线段上，且，
∴，
∵和相似，
∴或，
当时，，
∴，
解得，
∴当时，成立，即此时存在一个点使；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∵有且只有两个不同的点使和相似，
∴方程有且唯一解，
∴，
解得．
18．解：（1）抛物线过点
解得
抛物线方程为：；
（2）①设线段的函数表达式为：
将带入
解得：
∴的函数表达式为：
由题意，点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点M的坐标为．
线段的长度为：，
当时，取得最大长度为：
因此，线段的最大长度为．
②，
，
，
，
．
∵点P的坐标为，
，
∵，
，
若和相似，分两种情况：
①当，
，即，
解得：或0（不合题意，舍去），
；
②当，
，即，
解得：或0（不合题意，舍去），
；
综上所述，点P的坐标为：或．
19．（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
20．（1）解：∵点坐标为，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴不符合题意舍去，
∴，
∴，，
把，，分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：当时，
∴，
∵，
∴，
∴PC⊥OC，
∴点P的纵坐标为4，
当时，有，
解得：或（舍去）；
；
当时，过点D作轴交y轴于点M，过点P作轴交于点F，、交于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
，，
，
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
设直线解析式为，
把，代入解得直线解析式为，
设，则，
，，
，
解得：或（舍），
，，
，
综合上述，点P的坐标为：或；
（3）解：是；；
过点E作于I，于J，如图：
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，
经检验，符合题意，
∴；
∴是一个定值，且这个定值为．

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