北师大版高中数学必修第一册第1章3.2第1课时基本不等式课件+练习含答案(教师用)

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北师大版高中数学必修第一册第1章3.2第1课时基本不等式课件+练习含答案(教师用)

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第一章 预备知识
§3 不等式
3.2 基本不等式
课标要求
1.了解基本不等式的代数和几何背景.
2.理解并掌握基本不等式及其变形.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
4.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式.
第1课时 基本不等式
必备知识 探新知
知识点1 基本不等式
知识点2 基本不等式与最值
已知x,y都为正数,则
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,积xy取得最大值_______.
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,和x+y取得最小值_________.
关键能力 攻重难
●题型一 利用基本不等式判断命题真假
例1:下列不等式一定成立的是( )
[归纳提升]
归纳提升:利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步:检查是否满足应用基本不等式的条件;
第二步:应用基本不等式;
第三步:检验等号是否成立.
〉对点训练1
若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
[解析] 对于A,若a=b时,a2+b2=2ab,则A中的不等式不恒成立.当a<0,b<0时,选项B,C不成立.故选D.
●题型二 利用基本不等式求最值
[分析] (1)将所求代数式变形,构造出基本不等式所满足的结构条件,从而运用基本不等式求最值.
(2)利用“1”的代换,结合不等式求解.
[归纳提升]
归纳提升:利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.
(2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.
(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.
(4)利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
〉对点训练2
1
●题型三 利用基本不等式证明不等式
[归纳提升]
归纳提升:利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之转化为能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换,另外,解题时要时刻注意等号能否取到.
〉对点训练3
已知x,y,z都是正数,求证:(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz.
●易错警示 易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性
[点评] 连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立.
课堂检测 固双基
1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是( )
A.m=1 B.m=±1
C.m=-1 D.m=0
[解析] 若不等式m2+1≥2m,由基本不等式等号成立的条件知m2=1,即m=1(m=-1舍去).故选A.
2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
3.对于任意正数a,b,A是a,b的算术平均数,G是a,b的几何平均数,则A与G的大小关系是___________.
4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为________.第一章 §3 3.2 第1课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1.下列不等式中正确的是( )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
[解析] a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错;a=4,b=16,则<,故C错;由基本不等式可知D项正确.故选D.
2.已知x>0,若x+的值最小,则x为( )
A.18 B.9
C.3 D.16
[解析] 因为x>0,所以x+≥2=18,当且仅当x=时,等号成立,即x=9.故选B.
3.已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是( )
A.10 B.25
C.5 D.2
[解析] a+b≥2=2,等号在a=b=时成立.故选D.
4.已知0A. B.
C. D.
[解析] 因为00,所以x(1-x)≤2=,
当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.故选B.
5.设0A. B.b
C.2ab D.a2+b2
[解析] ∵ab<2,∴ab<,∴2ab<.
∵>>0,a+b=1,
∴>,∴a2+b2>.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2
=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.故选B.
6.已知a>0,b>0,A=,B=,C=,则A,B,C的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
[解析] 由基本不等式可知,A≥B,≤=,所以B≥C,当a=b时等号成立.故选D.
二、填空题
7.若a<1,则a+与-1的大小关系是 a+≤-1 .
[解析] 因为a<1,即a-1<0,
所以-=(1-a)+≥2=2(当且仅当1-a=,即a=0时取等号).即a+≤-1.
8.设x>0,则的最小值为 2-1 .
[解析] 由x>0,可得x+1>1.
令t=x+1(t>1),则x=t-1,则==t+-1≥2-1=2-1,当且仅当t=,即x=-1时,等号成立.
三、解答题
9.当x取什么值时,x2+取得最小值?最小值是多少?
[解析] x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时等号成立.
∴x=1或-1时,x2+取得最小值,最小值为2.
10.已知x,y都是正数,且x≠y,求证:
(1)+>2;
(2)<.
[证明] (1)∵x>0,y>0,∴>0,>0,
∴+≥2=2,∴+≥2.
由于当且仅当=,即x=y时取“=”,但x≠y,因此不能取“=”.
∴+>2.
(2)∵x>0,y>0,x≠y,∴x+y>2,∴<1,又∵>0,
∴<,∴<.
B 组·素养提升
一、选择题
1.若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为( )
A. B.2
C. D.5
[解析] ∵x+3y=5xy,x>0,y>0,
∴+=1,∴3x+4y=(3x+4y)·=++≥+2·=5,
当且仅当=,即x=2y=1时取等号,
∴当3x+4y取得最小值时,x=2y=1,∴x+2y的值为2.故选B.
2.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由x2+3xy-1=0可得y=.
因为x>0,所以x+y=+≥2=2=.故x+y的最小值为.故选B.
3.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有(   )
A.ab<1 B.1<
C.ab< D.[解析] ∵ab≤2,a≠b,∴ab<1,
又∵>,a+b=2,
∴>1,∴ab<1<.故选ABC.
4.(多选题)下列结论正确的是(   )
A.当x>0时,+≥2
B.当x>2时,x+的最小值是2
C.当x<时,y=4x-2+的最小值为5
D.当x>0,y>0时,+≥2
[解析] 在A中,当x>0时,>0,+≥2,当且仅当x=1时取等号,结论成立;在B中,当x>2时,x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,但x>2取不到1,因此x+的最小值不是2,结论错误;在C中,因为x<,所以5-4x>0,则y=4x-2+=-+3≤-2×+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时取等号,结论错误;显然D正确.故选AD.
二、填空题
5.当x>1时,x+的最小值为_7__.
[解析] 因为x-1>0,所以x+=(x-1)++1≥2+1=7,当且仅当x-1=,即x=4时,x+的最小值为7.
6.已知3a+2b=1,a>0,b>0,则+的最小值为 8+4 .
[解析] ∵3a+2b=1,∴+=(3a+2b)=8++≥8+2=8+4,当且仅当=及3a+2b=1,解得a=,b=时取到最小值.
三、解答题
7.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[证明] (1)因为a,b,c均为正数,由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(当且仅当a=b=c时等号成立)
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为a,b,c均为正数,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时取等号),即++≥a+b+c.
又a+b+c=1,所以++≥1.
8.已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=2,且+≥m恒成立,求实数m的最大值.
[解析] ∵a>0,b>0,a+b=2,
令a+1=p,b+1=q,则p>1,q>1,
∴a=p-1,b=q-1,p+q=4,
∴+=+
=p+q-4++=≥=1,(当且仅当p=q=2时的等号)
∴m≤1,所以实数m的最大值为1.
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