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(共32张PPT)
第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
课标要求
1．了解基本不等式的代数和几何背景．
2．理解并掌握基本不等式及其变形．
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式.
第1课时　基本不等式
必备知识　探新知
知识点1　基本不等式
知识点2　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值_______.
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值_________.
关键能力　攻重难
●题型一　利用基本不等式判断命题真假
例1：下列不等式一定成立的是( )
[归纳提升]
归纳提升：利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立．
〉对点训练1
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
[解析]　对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a<0，b<0时，选项B，C不成立．故选D.
●题型二　利用基本不等式求最值
[分析]　(1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值．
(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．
[归纳提升]
归纳提升：利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
〉对点训练2
1
●题型三　利用基本不等式证明不等式
[归纳提升]
归纳提升：利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
〉对点训练3
已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
●易错警示　易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性
[点评]　连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立.
课堂检测　固双基
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C．m＝－1 D．m＝0
[解析]　若不等式m2＋1≥2m，由基本不等式等号成立的条件知m2＝1，即m＝1(m＝－1舍去)．故选A.
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是___________.
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________.第一章　§3　3.2　第1课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
[解析]　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．故选D.
2．已知x>0，若x＋的值最小，则x为( )
A．18 B．9
C．3 D．16
[解析]　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝时，等号成立，即x＝9.故选B.
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10 B．25
C．5 D．2
[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立．故选D.
4．已知0A． B．
C． D．
[解析]　因为00，所以x(1－x)≤2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.
5．设0A． B．b
C．2ab D．a2＋b2
[解析]　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，a＋b＝1，
∴>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．故选B.
6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D.
二、填空题
7．若a<1，则a＋与－1的大小关系是 a＋≤－1　.
[解析]　因为a<1，即a－1<0，
所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1.
8．设x>0，则的最小值为 2－1　.
[解析]　由x>0，可得x＋1>1.
令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．
三、解答题
9．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？
[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．
∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.
10．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1)＋>2；
(2)<.
[证明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，∴＋≥2.
由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．
∴＋>2.
(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，又∵>0，
∴<，∴<.
B　组·素养提升
一、选择题
1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( )
A． B．2
C． D．5
[解析]　∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，
∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋≥＋2·＝5，
当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，
∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2.故选B.
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A． B．
C． D．
[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝.
因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝.故x＋y的最小值为.故选B.
3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( 　 )
A．ab<1 B．1<
C．ab< D．[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>，a＋b＝2，
∴>1，∴ab<1<.故选ABC.
4．(多选题)下列结论正确的是( 　 )
A．当x>0时，＋≥2
B．当x>2时，x＋的最小值是2
C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5
D．当x>0，y>0时，＋≥2
[解析]　在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确．故选AD.
二、填空题
5．当x>1时，x＋的最小值为_7__.
[解析]　因为x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝7，当且仅当x－1＝，即x＝4时，x＋的最小值为7.
6．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为 8＋4　.
[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当＝及3a＋2b＝1，解得a＝，b＝时取到最小值．
三、解答题
7．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明]　(1)因为a，b，c均为正数，由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(当且仅当a＝b＝c时等号成立)
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为a，b，c均为正数，所以＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，即＋＋≥a＋b＋c.
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.
8．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．
[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，
令a＋1＝p，b＋1＝q，则p>1，q>1，
∴a＝p－1，b＝q－1，p＋q＝4，
∴＋＝＋
＝p＋q－4＋＋＝≥＝1，(当且仅当p＝q＝2时的等号)
∴m≤1，所以实数m的最大值为1.
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