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第一章　§4　4.3
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4
[解析]　由Δ＝a2－4×4≤0可得．故选A.
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( )
A．M∩N B．M∪N
C． R(M∩N) D． R(M∪N)
[解析]　<0 (x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－33．若存在x0∈R，使得x＋2x0＋m<0成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤1 B．m<1
C．m>1 D．m≥1
[解析]　由题意可得Δ＝4－4m>0，∴m<1.故选B.
4．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2A．－11 B．11
C．－1 D．1
[解析]　由已知可得2,3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，∴a＋b＝－1.故选C.
5．当0≤x≤2时，若x2－2x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0]
C．(－∞，－1) D．(－∞，0)
[解析]　x2－2x－a≥0 a≤x2－2x，设y＝x2－2x＝(x－1)2－1,0≤x≤2，当x＝1时，ymin＝f(1)＝－1，要使x2－2x－a≥0恒成立，故有a≤－1.故选A.
6．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．－C．－2[解析]　令y＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则当x＝1时，y<0且x＝－1时，y<0，
即解得0二、填空题
7．若不等式x2－ax－a≤－3的解集为空集，则实数a的取值范围是 {a|－6[解析]　不等式x2－ax－a≤－3可化为x2－ax－a＋3≤0，由不等式x2－ax－a≤－3的解集为空集，得Δ＝(－a)2－4(－a＋3)<0，
即a2＋4a－12<0，解得－68．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝ 4　.
[解析]　不等式>0等价于(x－a)(x＋1)>0，
因为不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，所以a＝4.
三、解答题
9．关于x的不等式E：ax2＋ax－2≤0，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式E的解集；
(2)若不等式E在R上恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝1时，不等式E：ax2＋ax－2≤0可化为x2＋x－2≤0，
即(x＋2)(x－1)≤0，方程(x＋2)(x－1)＝0的两根为x1＝－2，x2＝1，
则不等式x2＋x－2≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，
∴当a＝1时，不等式E的解集为{x|－2≤x≤1}．
(2)当a＝0时，不等式E化为0·x2＋0·x－2≤0，对x∈R恒成立，即a＝0满足题意．
当a≠0时，由题意得
解得－8≤a<0.
综上可知，a的取值范围为{a|－8≤a≤0}．
10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象？
[解析]　由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．
B　组·素养提升
一、选择题
1．不等式组的解集为( )
A．{x|－1C．{x|01}
[解析]　由x(x＋2)>0，得x>0或x<－2.又由|x|<1，得－12．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C． D．{x|x<－2或x>2}
[解析]　∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，
∴x≠－2，∴不等式的解集为{x|x≠－2}．故选A.
3．(多选题)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2，其中错误的命题为( 　 )
A．|a|≥1 B．b≤1
C．|a＋2b|≥2 D．|a＋2b|≤2
[解析]　由题意知x1x2＝b，|x1|＋|x2|≤2，不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，所以C不正确；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝1，但|a＋2b|＝4，所以D不正确；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，故A不正确；b＝x1x2≤2≤2≤1，所以B正确．故选ACD.
4．(多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( 　 )
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
[解析]　在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得01}，故D正确．故选BCD.
二、填空题
5．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本，要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为_4__.
[解析]　设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x，
整理得y＝－20 000x2＋130 000x，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4.
6．关于x的方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k的取值范围是 　.
[解析]　令y＝x2－(k＋1)x＋2k－1，则当x＝4时，y<0，即42－4(k＋1)＋2k－1<0，整理有2k－11>0，解得k>.
7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为 －　.
[解析]　∵x2＋ax＋1≥0对一切
x∈成立，
∴a≥－在x∈上恒成立．
令g(x)＝－，则g(x)在上为增函数．
∴g(x)max＝g＝－.∴a≥－.
∴a的最小值为－.
三、解答题
8．如图，有一长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x米．
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x的取值范围．
[解析]　(1)由题意知，△NDC∽△NAM，则＝
，即＝，解得AD＝20－x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x2(0(2)由题意得20x－x2≥144，即x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故x的取值范围是{x|12≤x≤18}．
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第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.3　一元二次不等式的应用
关键能力　攻重难
●题型一　不等式的恒成立问题
例1：已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
[分析]　本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析]　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
[归纳提升]
归纳提升：求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．
通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或(1)若y在定义域内存在最大值m，则ym(或a≥m)；
(2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立 a〉对点训练1
若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
例2：已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
[归纳提升]
归纳提升：
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
(1)x1，x2一正一负 x1x2<0.
〉对点训练2
要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是________________________.
{a|－2●题型三　一元二次不等式的应用
(1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的范围．
[归纳提升]
归纳提升：一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
〉对点训练3
●题型二　一元二次方程根的分布
有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
●易错警示　不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
例4：要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围．
[错解]　二次函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公共点．
[辨析]　只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值．解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理．
[正解]　函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立，于是
①当m＝0时，－1<0恒成立；
②当m≠0时，要使其恒成立，则有
[点评]　忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论．,
课堂检测　固双基
1．若x∈{x|1[解析]　设y＝x2＋mx＋4图象开口向上，因为当x∈{x|12．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.

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