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第一章　§3　3.2　第2课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．若x∈{x|－2A．－2 B．－
C．－1 D．－
[解析]　因为x∈{x|－20，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－2＝－1，当且仅当x＝－1时，等号成立．故选C.
2．下列各式中，对任意实数x都成立的一个式子是( )
A．x＋1≥2 B．x2＋1>2x
C．≤1 D．x＋≥2
[解析]　当x<0时，无意义，故A不恒成立；当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立；当x<0时，x＋<2，故D不恒成立；x2＋1≥1，所以≤1恒成立．故选C.
3．已知a>b>0，全集为R，集合M＝，N＝{x|A．P＝M∩( RN) B．P＝( RM)∩N
C．P＝M∪N D．P＝M∩N
[解析]　由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，故P＝M∩( RN)．故选A.
4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
[解析]　x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时等号成立．故选B.
5．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是( )
A． B．2
C．2 D．8
[解析]　因为x>0，y>0，
所以x＋y＝
≤＝·，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以使得x＋y≤a对所有正数x，y都成立的a的最小值是.故选A.
6．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析]　因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
因为m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C.
二、填空题
7．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是 2　；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是 　.
[解析]　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
8．已知正数a、b满足＋＝3，则ab的最小值为 4　.
[解析]　＋＝3≥2 ≥2 ab≥4.
当且仅当＝，即a＝6，b＝时取等号．
三、解答题
9．若正数a、b满足：＋＝1，求＋的最小值．
[解析]　正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，由正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，＋＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝3时取等号，故＋的最小值为2.
10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y＝(x∈N*)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)
[解析]　依题意得y＝(x∈N*)．
因为x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝40时上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(万件)．
所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100 B．50
C．20 D．10
[解析]　由m2＋n2≥2mn得mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．故选B.
2．已知00，则y＝＋的最小值为( )
A．(a＋b)2 B．(a－b)2
C．a＋b D．a－b
[解析]　y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号．故选A.
3．(多选题)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a>2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，则下列正确的是( 　 )
A．A∩B＝{x|4≤x≤8} B．A∪B＝R
C．A B D． UA B
[解析]　由a>2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时取等号．
所以A＝{p|p≥4}，B＝{q|q≤8}．故选ABD.
4．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明有( 　 )
A．≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C．≥(a>0，b>0)
D．≥(a>0，b>0)
[解析]　根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝，由于OD≥CD，
所以≥(a>0，b>0)．
由于CD≥DE，
所以≥＝(a>0，b>0)．故选AC.
二、填空题
5．已知x≥，则f(x)＝的最小值是 1　.
[解析]　f(x)＝＝＋
＝＋
≥2＝1.
当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．
6．某公司购进了一批机器投入生产，依据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：月)的关系为：y＝－x2＋15x－16(x∈N*)，则每台机器生产的产品的月平均利润的最大值是_7__万元．
[解析]　由已知得，每台机器生产的产品的月平均利润为＝＝－x＋15－＝15－，
又因为15－≤15－2＝7，当且仅当x＝时等号成立，又因为x∈N*，所以当x＝4时，月平均利润有最大值，此时最大值是7万元．
三、解答题
7．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
(1)求a＋b的最小值；
(2)证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
[解析]　由a＋b＝＋＝，且a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.
(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①
假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则a2＋b2＋a＋b<4，②
①②两式矛盾，故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
8．某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[解析]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k k＝2，∴x＝3－，
每件产品的销售价格为1.5·(元)，
∴2024年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
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第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
第2课时　基本不等式的应用
关键能力　攻重难
●题型一　利用基本不等式求参数范围
[归纳提升]
归纳提升：
1．恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
〉对点训练1
●题型二　基本不等式的实际应用
例2：如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[分析]　(1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值．
(2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
[解析]　(1)设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大．
(2)设每间虎笼长x m，宽y m，由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
[归纳提升]
归纳提升：在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题
(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．
(3)在定义域内再利用基本不等式，求出函数的最值．
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
〉对点训练2
A．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B．该单位每月最低可获利20 000元
C．该单位每月不获利，也不亏损
D．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损
●易错警示　基本不等式求最值时，分类讨论不全致错
[点评]　利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值．
课堂检测　固双基
A．2 B．4
C．6 D．8
3．已知x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为______.
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2 ，80元/m2，那么水池的最低总造价为_____元．
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