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第一章　预备知识
§4　一元二次函数与一元二次不等式
课标要求
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．
2．掌握图象法解一元二次不等式．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．
6．会解一元二次不等式中的恒成立问题.
核心素养
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序，培养学生数学抽象，直观想象，逻辑推理等核心素养.
4.1　一元二次函数
必备知识　探新知
知识点1　一元二次函数
1．定义：一般地，把形如____________________________(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为___________、一次项系数和_________.
2．三种不同形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
二次项系数
常数项
知识点2　一元二次函数的性质
函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
性质 抛物线开口向_____，并向上无限延伸 抛物线开口向_____，并向下无限延伸
上
下
性质 对称轴是x＝_____；
顶点坐标是_____________
在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间___________上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间_____________上函数值y随x的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝_____ 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝_____
h
(h，k)
[h，＋∞)
[h，＋∞)
k
k
关键能力　攻重难
●题型一　一元二次函数的图象问题
例1：(1)将抛物线y＝(x－1)2＋2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－3
C．y＝(x＋2)2＋7 D．y＝(x＋2)2－3
(2)已知一元二次函数y＝－x2－2x＋3.
①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；
②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；
③根据①②画出此函数图象的草图．
[解析]　(1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3个单位长度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5个单位长度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7.故选A.
(2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，当x＝0时，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函数图象与x轴的交点坐标为 (－3,0)，(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1.
③根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：
[归纳提升]
归纳提升：
1．利用关键点和对称轴画一元二次函数图象
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A，B，C，D及M这五个点按顺序用平滑曲线连接起来．
2．参数“a，h，k”对y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的影响
(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小．
(2)h决定了二次函数图象的对称轴的位置．
(3)k决定了二次函数图象的顶点的高度．
〉对点训练1
(1)已知二次函数y＝x2－8x＋c的图象的顶点在x轴上，则c＝_______.
16
[解析]　(1)配方，得y＝x2－8x＋c＝(x－4)2＋c－16，
所以此函数图象的顶点坐标为(4，c－16)，根据题意得c－16＝0，所以c＝16.
●题型二　一元二次函数的函数值的变化趋势
例2：试述一元二次函数y＝3x2－6x－1函数值的变化趋势．
[分析]　配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，结合图象叙述．
[解析]　配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4.
该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，所以此函数在区间 (－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大则减小，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大．
[注意]　书写的规范性：
①配方变形，以便得出函数图象的对称轴；
②结合函数图象叙述函数值的变化趋势．
[归纳提升]
〉对点训练2
(1)在区间(2，＋∞)上，函数y＝x2－mx＋5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为( )
A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
(2)一元二次函数y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点．
①求出m的值和此函数图象与x轴的交点坐标；
②试述函数值的变化趋势．
(2)①因为y＝－x2＋(m－1)x＋m的图象与y轴交于(0,7)点，得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7；
则y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，(x－7)(x＋1)＝0，所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1，所以此函数的图象与x轴的交点为(7,0)，(－1,0)．
②因为y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以对称轴为直线x＝3，所以在区间(－∞，3]上，y随x的增大而增大；在区间[3，＋∞)上，y随x的增大而减小．
●题型三　一元二次函数的最大值和最小值
(2)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋c.
①求该一元二次函数图象的对称轴；
②若此函数的最大值是－3，求c的值．
(2)①y＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋c＋4，此函数图象的对称轴是直线x＝2.
②由①得，当x＝2时，函数的最大值为ymax＝c＋4＝－3，所以c＝－7.
[归纳提升]
归纳提升：求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步骤
(1)“化”：采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(2)“求”：当a>0时，函数在x＝h处y有最小值，ymin＝k；当a<0时函数在x＝h处y有最大值，ymax＝k.
〉对点训练3
(1)一元二次函数y＝－x2＋6x－3的最大值是_____.
(2)若一元二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值为0，则m＝___________.
[解析]　(1)因为y＝－x2＋6x－3＝－(x－3)2＋6，
所以此函数在x＝3处取得最大值6，即ymax＝6.
6
9或25
课堂检测　固双基
1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是( )
[解析]　由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D.故选B.
2．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向上，顶点坐标为(3,1)
B．开口向下，顶点坐标为(3,1)
C．开口向上，顶点坐标为(－3,1)
D．开口向下，顶点坐标为(－3,1)
[解析]　因为y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2>0，所以抛物线的开口向上，顶点坐标为(3,1)．故选A.
3．将函数y＝－3x2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得下列哪个函数的图象( )
A．y＝－3(x＋1)2－1 B．y＝－3(x＋1)2＋3
C．y＝－3(x－1)2＋1 D．y＝－3(x－1)2＋3
[解析]　函数y＝－3x2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点为(1,3)，则y＝－3(x－1)2＋3.故选D.
4．如图所示，已知一元二次函数y＝x2＋bx＋c的
对称轴为x＝2，点A，B均在其图象上，且AB与x轴平
行，点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为( )
A．(2,3) B．(3,2)
C．(3,3) D．(4,3)
[解析]　因为点A，B均在函数图象上，且AB与x轴平行，所以点A与点B关于对称轴x＝2对称，又因为A(0,3)，所以AB＝4，yB＝yA＝3，所以点B的坐标为(4,3)．故选D.
5．用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－4x－3；(2)y＝－5x2－20x－26.
[解析]　(1)配方得y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，所以该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1；
当x＝1时取得最小值，最小值为ymin＝－5.
(2)配方得y＝－5x2－20x－26＝－5(x＋2)2－6，所以该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝－2；
当x＝－2时取得最大值，最大值为ymax＝－6.第一章　§4　4.1
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上，函数值y随x增大而增大( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C． D．
[答案]　D
2．抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
[解析]　因为抛物线y＝2(x－1)2＋3顶点坐标为(1,3)，抛物线y＝2x2顶点坐标为(0,0)，所以抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的．故选B.
3．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( )
x －1 0 1 3
y －1 3 5 3
A．.x＝0 B．x＝1
C．x＝1.5 D．x＝2
[答案]　C
4．已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a－b＋c＝0，那么它的大致图象可能是( )
A B C D
[解析]　由a>b>c，且a－b＋c＝0可以分析出a>0，c<0，即函数图象开口向上，当x＝－1时y＝a－b＋c＝0，当x＝0时y＝c<0.结合各选项可知选A.
5．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
[解析]　由于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c的图象的对称轴方程分别是x＝－，x＝－，则－与－同号，即它们的图象的对称轴位于y轴的同一侧，由此排除A，B；由C，D中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab<0，于是－>0，－>0，即两函数图象的对称轴都位于y轴右侧，排除C.故选D.
6．已知一元二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．[0,2]
C．[2,4] D．(－∞，4]
[解析]　因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，所以当x＝0或x＝4时，y＝3.又因为当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，所以2≤m≤4.故选C.
二、填空题
7．一元二次函数y＝3x2的图象上有两点(2，y1)，(5，y2)，则y1_<__y2(填“>”“<”或“＝”)．
8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－3(x＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为_y＝3x2－12x＋10__.
[解析]　由题意可知所求一元二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2＝3x2－12x＋10.
9．函数y＝3x2－x＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_y＝3x2＋5x＋2__.
[解析]　函数y＝3x2－x＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y＝3(x＋1)2－(x＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y＝3x2＋5x＋2.
三、解答题
10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1的图象；
(2)指出y＝－(x＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．
[解析]　(1)作出这三个函数的图象，如图：
(2)y＝－(x＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，当x＝－1时，ymax＝－1.在区间(－∞，－1]上函数值y随x增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y随x增大而减小．
B　组·素养提升
一、选择题
1．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( )
A．6 m B．10 m
C．8 m D．12 m
[解析]　当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x＝10或x＝－2(舍去)．故选B.
2．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则( )
A．y1C．y1[解析]　因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是函数值y随x的增大而增大，m>2时m－1，m，m＋1均在[1，＋∞)内，所以y13．(多选题)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论正确的是( 　 )
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2
C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
[解析]　二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1>0，所以该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2,1)，当x＝2时，y有最小值1，故A、B的说法正确；当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，故C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1，故D的说法正确．故选ABD.
4．(多选题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( 　 )
A．a＋b＋c<0 B．a－b＋c>1
C．abc>0 D．4a－2b＋c<0
[解析]　由题图可知x＝1时y<0，x＝－1时y>1，所以A、B正确．
因为－＝－1，且a<0，所以b＝2a<0.
因为x＝0时，c＝1>0，所以C正确．
因为x＝－2，x＝0时，y＝1，所以当x＝－2时，y＝4a－2b＋c>0，所以D不正确．故选ABC.
二、填空题
5．函数y＝(m－1)·x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是_{－3,0,1}__.
[解析]　当m＝1时，y＝4x－1，其图象和x轴只有一个交点.当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0.
所以m的取值集合为{－3,0,1}．
6．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点分别为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为_8__.
[解析]　由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝×4×4＝8.
三、解答题
7．求函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值和最小值．
[解析]　函数y＝3－2x－x2的图象的对称轴为直线x＝－1.
画出函数y＝3－2x－x2，x∈的大致图象，如图所示，由图可知，当x＝－1时，ymax＝4；当x＝时，ymin＝－.
所以函数y＝3－2x－x2，x∈的最大值为4，最小值为－.
8．已知函数y＝(x－2)(x＋a)．
(1)若函数的图象关于直线x＝1对称，求a的值；
(2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a的值．
[解析]　(1)∵y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝，
∴＝1，解得a＝0.
(2)由(1)知y＝x2＋(a－2)x－2a的图象的对称轴为直线x＝1－，
①当1－≤0，即a≥2时，x＝0时，ymin＝－2a＝2，解得a＝－1，不符合题意，舍去；
②当1－∈(0,1)，即0③当1－≥1，即a≤0时，x＝1时，ymin＝－1－a＝2，解得a＝－3，符合题意．
综上所述，a＝－3.
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