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第二章　§2　2.1　第1课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是( )
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
[解析]　根据函数的定义可以判断A，B，D都是正确的；对于C，函数值相等时，自变量的值不一定相等．如f(x)＝x2，f(1)＝f(－1)．故选C.
2．下列四组中的f(x)与g(x)表示相等函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(t)＝
C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
[解析]　A、C项中两函数的定义域不同，D项中对应关系不同．故选B.
3．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0]
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
[解析]　要使函数y＝有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．故选C.
4．函数y＝－x2＋2x的定义域为{－1,0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－3,0,1} B．{－3,0,1,3}
C．{y|－3≤y≤0} D．{y|－3≤y≤1}
[解析]　由对应关系y＝－x2＋2x有
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2×(－1)＝－3，
当x＝0时，y＝0，
当x＝1时，y＝－12＋2×1＝1，
当x＝2时，y＝－22＋2×2＝0，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＝－3，
所以值域为{－3,0,1}．故选A.
5．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[解析]　对应关系若能构成从M到N的函数，须满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应，当x＝4时，y＝42＝16 N，故①不能构成函数；当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，故②不能构成函数；当x＝－1时，y＝－1－1＝－2 N，故③不能构成函数；当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故④能构成函数．故选D.
6．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A． B．
C．a D．3a
[解析]　f＝＝3a.故选D.
二、填空题
7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 　.
[解析]　由题意3a－1>a，则a>.
8．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域是 [－3,0]∪[1,3]　，值域为_[1,5]__.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
[解析]　(1)根据题意知x－1≠0且x＋5≥0，
所以x≥－5且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－5,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－5，f(12)＝－.
10．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值；
(3)求g(a＋1)．
[解析]　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
(3)g(a＋1)＝(a＋1)2＋2＝a2＋2a＋3.
B　组·素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝0＋的定义域为( )
A． B．[－2，＋∞)
C．∪ D．
[解析]　依题意得解得
即x≥－2，且x≠.故选C.
2．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋2，且f[f(1)]＝1，那么a的值是( )
A．－ B．－1
C．－或－1 D．或1
[解析]　∵f(1)＝12＋a－1＋2＝a＋2，
∴f[f(1)]＝f(a＋2)＝(a＋2)2＋(a－1)(a＋2)＋2
＝2a2＋5a＋4＝1.
∴2a2＋5a＋3＝0，即(2a＋3)(a＋1)＝0，
∴a＝－或a＝－1.故选C.
3．下列各组函数是同一个函数的是( )
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x
D．y＝与y＝x－1
[解析]　y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，所以y＝与y＝1不是同一个函数，故A不符合题意；
y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，所以y＝与y＝x不是同一个函数，故B不符合题意；
y＝＝x与y＝x对应关系相同，定义域都是R，所以y＝与y＝x是同一个函数，故C符合题意；
y＝＝
当x＜1时，y＝与y＝x－1对应关系不同，
所以y＝与y＝x－1不是同一个函数，故D不符合题意．故选C.
4．(多选题)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( ABD )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
[解析]　在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．故选ABD.
二、填空题
5．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为_{－1,0,3}__.
6．已知函数f(x)的定义域为A＝{1,2,3,4}，值域为B＝{7,8,9}，且对任意的x[解析]　如图，满足条件的函数共有3个．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
[解析]　∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝[(2x＋a)2＋3]
＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又∵g[f(x)]＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，
∴，解得a＝1，故a＝1.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
[解析]　函数的定义域为R，即不等式mx2＋2mx＋4>0的解集为R.
(1)当m＝0时，得到4>0，显然不等式的解集为R；
(2)当m<0时，二次函数y＝mx2＋2mx＋4开口向下，函数值y不恒大于0，故解集为R不可能．
(3)当m>0时，二次函数y＝mx2＋2mx＋4开口向上，由不等式的解集为R，得到二次函数与x轴没有交点，即Δ＝4m2－16m<0，即m(m－4)<0，解得0综上，m的取值范围为[0,4)．
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第二章　函数
§2　函数
2.1　函数概念
课标要求 核心素养
1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．了解构成函数的三要素．
3．理解同一个函数的概念．
4．能判断两个函数是否是同一个函数. 函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养.
第1课时　函数概念(一)
必备知识　探新知
知识点1　函数
1．定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B.如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每个数x，在集合B中都有_________________和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．
2．记法：y＝ f(x)，x∈A.
3．定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫作函数值，即集合_____________________.
唯一确定的数y
{f(x)|x∈A}
知识点2　同一个函数
前提条件 _________相同
___________完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
关键能力　攻重难
●题型一　函数概念
例1：(1)下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
A　　 　 B　　　 C　　　 D
[分析]　(1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．故选C.
[归纳提升]
归纳提升：
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
〉对点训练1
下列对应是否为A到B的函数：
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数．
(4)对于集合A中每一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
[归纳提升]
归纳提升：
解题时要注意审题，观察分析、发现规律．
〉对点训练2
－9
●题型三　函数的三要素
角度1　定义域和值域
例3：已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为_______________________，值域为_________________.
[解析]　根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}
{y|－4≤y≤3}
A．0 B．1
C．2 D．3
[归纳提升]
归纳提升：
关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算对应得到唯一的函数值y.
〉对点训练3
A．R B．{y|－1≤y≤1}
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
(2)已知函数f(x)，g(x)分别由表给出
则方程g[f(x)]＝3的解集为_____________.
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
{1,3}
(2)根据题意，若方程g[f(x)]＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，即方程g[f(x)]＝3的解集为{1,3}．
●题型四　同一函数
例5：判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
[分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只需看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[归纳提升]
归纳提升：判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数.
〉对点训练4
f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
课堂检测　固双基
1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是( )
A B C D
[解析]　由函数的定义知A，B，C是函数．故选D.
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则( )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝1，b＝1
[解析]　由f(1)＝－2得a＋b＝－2，
由f(－1)＝0得－a＋b＝0，
∴a＝－1，b＝－1.故选B.
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 024的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．以上答案都不对
[解析]　若函数y＝f(x)定义域包括x＝2 024，则有一个公共点，若函数y＝f(x)的定义域不包括2 024，则没有公共点．故选C.

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