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第二章　§3　第2课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最小值为( )
A．12 B．42
C．无最小值 D．－
[解析]　因为f(x)＝2－，x∈(－5,5)，所以当x＝－时，f(x)有最小值－.故选D.
2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )
A．　　　　　 B．
C． D．
[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞.故选B.
3．下列命题正确的是( )
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)[解析]　A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．故选D.
4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
A． B．[－1，＋∞)
C． D．(－∞，＋∞)
[解析]　y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，
∴当x∈时单调递减．故选C.
5．已知f(x)是定义在区间[0,1]上的函数，那么“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(x)max＝f(1)，若f(x)在区间[0,1]上最大值为f(1)，找反例，开口向上、对称轴为直线x＝的二次函数，可知函数f(x)在区间[0,1]上不单调递增．故选A.
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象如图，则函数f(|x|)的图象是( )
[解析]　f(|x|)图象的构成如下：
当x≥0时，f(|x|)图象与f(x)图象相同；当x<0时，图象与x>0时的图象关于y轴对称，由此可知函数f(|x|)的图象是B.故选B.
二、填空题
7．函数y＝在[2,3]上的最小值为 　，最大值为 　；在[－3，－2]上的最小值为 －　，最大值为 －　.
[解析]　函数y＝在区间[2,3]上单调递减，
∴ymin＝，ymax＝；在区间[－3，－2]上单调递减，
∴ymin＝－，ymax＝－.
8．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 (－∞，0)　.
[解析]　函数f(x)是反比例函数，若k>0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k<0.
三、解答题
9．判断并证明：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解析]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝－＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；
(2)试求它的最小值．
[解析]　(1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
理由如下：设1≤x1f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2)，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时，f(x)有最小值.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C． D．
[解析]　∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．
∴2x<1，∴x<.故选D.
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[解析]　∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．故选D.
3．(多选题)已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上( 　 )
A．f(0)＜0 B．f(0)>0
C．是减函数 D．是增函数
[解析]　∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0.故选AC.
4．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( 　 )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
[解析]　当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为 　.
[解析]　y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为.
6．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是 (0,1)　.
[解析]　由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足所以0三、解答题
7．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
因为24，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
8．在① x∈[－2,2]，② x∈[1,3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．
已知函数f(x)＝x2＋ax＋4.
(1)当a＝－2时，求f(x)在区间[－2,2]上的值域；
(2)若________，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解析]　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，则f(x)在区间[－2,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝3，f(x)max＝max{f(－2)，f(2)}＝max{12,4}＝12，
所以f(x)的值域为[3,12]．
(2)选择条件①：因为 x∈[－2,2]，f(x)≥0即x∈[－2,2]时f(x)min≥0，
若a≥4，则f(x)在区间[－2,2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，
又因为a≥4，所以a＝4.
若－4所以f(x)min＝f＝4－≥0 －4若a≤－4，则f(x)在区间[－2,2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，
又因为a≤－4，所以a＝－4，
综上所述－4≤a≤4.
选择条件②：
因为 x∈[1,3]，f(x)≥0，
所以f(x)max≥0，即max{f(1)，f(3)}≥0.
所以f(1)≥0或f(3)≥0，
即a≥－5或a≥－.所以a≥－5.
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第二章　函数
§3　函数的单调性和最值
第2课时　函数单调性的应用
关键能力　攻重难
●题型一　函数单调性的证明
[分析]　通过函数的图象判断单调性，再进行证明．
[归纳提升]
归纳提升：
证明的关键是作差之后的变形，变形的结果应是几个因式乘积的形式．
关于定义法证明函数的单调性
(1)步骤：
(2)实质：通过代数运算的结果证明函数
的单调性．
〉对点训练1
下面利用函数单调性的定义证明这一结论．
任取0●题型二　利用单调性求最值
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[分析]　利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[归纳提升]
归纳提升：
1．利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
〉对点训练2
●题型三　单调性的应用
例3：已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，求实数a的取值范围．
[分析]　根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[归纳提升]
归纳提升：
利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
〉对点训练3
已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求实数t的取值范围．
●易错警示　混淆“单调区间”和“区间上单调”
例4：若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为____________.
[错解]　函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间 (－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3.
[辨析]　导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．
[正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3.故实数a的取值集合是{－3}．
{－3}
[点评]　单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
课堂检测　固双基
1．函数y＝－|x|在R上( )
A．有最大值0，无最小值
B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值
D．以上都不对
[解析]　函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．故选A.
2．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值( )
A．是f(0) B．是f(3)
C．是0 D．不存在
[解析]　∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，
∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D.
3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)2
[解析]　当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，
∴f(x)在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝10.
当－4≤x<1时， f(x)＝7－x，
∴f(x)在[－4,1)上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝11.
综上可知f(x)max＝f(－4)＝11.

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