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第二章　§2　2.2　第1课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下：
x －2 －1 0 2 3
y 5 2 1 3 4
则f(－1)＋f(2)＝( )
A．4 B．5
C．6 D．9
[解析]　由表可知，f(－1)＋f(2)＝2＋3＝5.故选B.
2．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1
[解析]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有
所以a＝－1，b＝1，即f(x)＝－x＋1.故选D.
3．函数f(x)＝的图象是( )
A B C D
[解析]　由于f(x)＝＝所以其图象为C.故选C.
4．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(bA　 　B　 　C　 　D
[解析]　注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C符合．故选C.
5．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
[解析]　∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，
令x＋2＝t，∴x＝t－2，
∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，∴g(x)＝2x－1.故选B.
6．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
[解析]　方法一：令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，所以f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)，所以f＝16－1＝15.故选C.
方法二：由1－2x＝得x＝，所以f＝＝15.故选C.
二、填空题
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为 1　；当g[f(x)]＝2时，x＝ 1　.
[解析]　由g(x)对应表，知g(1)＝3，
所以f[g(1)]＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，所以f[g(1)]＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，
又g[f(x)]＝2，所以f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.所以x＝1.
8．若3f(x)－f＝2x(x≠0)，则f(x)＝ ＋(x≠0)　.
[解析]　用代换x，得3f－f(x)＝.
解方程组解得f(x)＝＋(x≠0)．
即f(x)＝＋(x≠0)．
三、解答题
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解析]　(1)函数y＝＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由，(2,2)，，(4,3)，五个孤立的点构成，如图．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图所示．
10．设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，并且对任意实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数的值域．
[解析]　(1)由f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
令x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
又f(0)＝1，所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
(2)∵f(x)＝x2＋x＋1＝2＋≥，
所以函数f(x)的值域为.
B　组·素养提升
一、选择题
1．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
[解析]　由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.
又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.
2．观察下表：
x －3 －2 －1 1 2 3
f(x) 4 1 －1 －3 3 5
g(x) 1 4 2 3 －2 －4
则f[g(3)－f(－1)]＝( )
A．3 B．4
C．－3 D．5
[解析]　由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.故选B.
3．(多选题)下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是( 　 )
A．赵红出生时的体重为4 kg
B．赵红的体重随年龄的增长而增加
C．赵红25岁之后，体重不变
D．赵红体重增加最快的时期是0～15岁
[解析]　由题图可知，0岁体重为4 kg，即赵红出生时的体重为4 kg，A正确；在25～50岁之间体重没有增加，B错误；在50岁之后体重有下降趋势，C错误；0～15岁，体重平均每年增加＝ kg,15～25岁体重平均每年增加＝ kg，故赵红体重增加最快的时期是0～15岁，D正确．故选AD.
4．(多选题)已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是( 　 )
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16
C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
[解析]　当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B符合题意；令t＝2x＋1，则x＝，因此f(t)＝4×2＝t2－2t＋1，所以C不符合题意，D符合题意．故选BD.
二、填空题
5．已知函数f(x)是反比例函数，且f(－1)＝2，则f(x)＝ －　.
[解析]　设f(x)＝(k≠0)，
∴f(－1)＝－k＝2，∴k＝－2，∴f(x)＝－.
6．已知f＝x2＋，则函数f(x)＝_x2＋2__，f(3)＝_11__.
[解析]　令x－＝t，t2＝x2＋－2，
所以f(t)＝t2＋2，所以f(x)＝x2＋2.
所以f(3)＝32＋2＝11.
三、解答题
7．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0，①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2，②
又由已知得c＝1.③
由①②③，解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
8．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
[解析]　因为f(2)＝1，所以＝1，
即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝，所以f(－3)＝＝6，
所以f[f(－3)]＝f(6)＝＝.
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第二章　函数
§2　函数
2.2　函数的表示法
课标要求
1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．
2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．
3．会用解析法及图象法表示分段函数．
4．掌握求函数解析式的常见方法．
5．能根据给出的分段函数，研究有关性质.
核心素养
1．函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，学生应从不同的侧面认识函数的本质，培养学生数学抽象，直观想象的核心素养．
2．学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，培养学生数学建模的核心素养.
第1课时　函数的表示法
必备知识　探新知
知识点　表示函数的三种方法
解析法 用_____________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出_______来表示两个变量之间的对应关系
图象法 用_______表示两个变量之间的关系
数学表达式
表格
图象
关键能力　攻重难
●题型一　列表法表示函数
例1：某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[分析]　函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000 ， 9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
[解析]　(1)列表法：
X
(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y
元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[归纳提升]
归纳提升：
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域．
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
(3)图象法：是否连线．
〉对点训练1
某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
[解析]　这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．
●题型二　与函数图象有关的问题
例2：作出下列函数的图象并求出其值域．
[分析]　(1)画函数的图象时首先要注意的是什么？
(2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
(3)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[归纳提升]
归纳提升：
(1)常见函数图象的特征：
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)是一条直线．
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图．
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
〉对点训练2
作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
[解析]　(1)用描点法可以作出函数的图象如图1.
图1　　　　 图2
●题型三　求函数解析式
角度1　待定系数法求解析式
例3：(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的解析式为______________________________.
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为___________________.
[分析]　已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．
f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6
f(x)＝x2＋1
角度2　换元法(或配凑法)求解析式
[分析]　已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式．
f(x)＝x2－1(x≥1)
f(x)＝x2－4x＋3
(2)方法一(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二(配凑法)　因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
角度3　方程组法求函数解析式
[归纳提升]
归纳提升：函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)配凑法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，运用整体化思想，将函数解析式右端凑成g(x)的形式，用x代替g(x)即可．注意新元的取值范围，此法多用于解析式比较简单的情况．
〉对点训练3
(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，
f(1)＝3，则f(x)＝_______________.
课堂检测　固双基
1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
[解析]　由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选C.
2．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝( )
A．0 B．2
C．4 D．6
[解析]　由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.故选C.
3．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的( )
A B C D
[解析]　根据题意，易知A符合．故选A.
4．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底
长的3倍，则它的高y与x的函数关系为__________________.
5．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝－4，f(2)＝5.
求：(1)a，b的值；(2)f(0)的值．

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