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第三章　指数运算与指数函数
§2　指数幂的运算性质
课标要求 核心素养
1．结合整数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．
2．能利用指数幂的运算性质进行计算、化简、证明. 利用指数幂的运算性质，进行与幂有关的运算时，注意方法与技巧的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
必备知识　探新知
知识点　实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，α，β∈R)
(1)aαaβ＝_______；(2)(aα)β＝_________；(3)(ab)α＝_______.
aα＋β
aαβ
aαbα
关键能力　攻重难
●题型一　利用指数幂的运算性质求值计算
[归纳提升]
归纳提升：关于利用指数幂的运算性质计算
(1)若式子中含有假分数，则先化成真分数，再利用指数幂的运算性质计算．
(2)若式子中含有根式，则先将根式化为指数式，再利用指数幂的运算性质计算．
〉对点训练1
●题型二　利用实数指数幂的运算性质化简
[归纳提升]
归纳提升：关于指数式的化简问题
(1)化简的一般顺序是先乘方，再乘除，最后算加减．
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．
〉对点训练2
●题型三　指数幂运算的综合应用
[分析]　利用完全平方公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
[归纳提升]
(2)解决此类问题的一般步骤是
〉对点训练3
又x－y＝6，xy＝16，
∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.,
∴x＋y＝10或x＋y＝－10(舍去)．
●易错警示　因忽略幂底数的范围而导致错误
[点评]　在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
课堂检测　固双基
1．下列运算中计算结果正确的是( )
A．a4·a3＝a12 B．a6÷a3＝a2
C．(a3)2＝a5 D．a3·b3＝(a·b)3
[解析]　根据指数幂的乘法性质可知a4·a3＝a7≠a12，故A选项错误；根据指数幂的除法性质可知a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2，故B选项错误；根据指数幂的乘方性质可知(a3)2＝a6≠a5，故C选项错误，根据指数幂的运算性质a3·b3＝(a·b)3.故选D.
3．设x∈R且x≠0，若x＋x－1＝3，则x8＋x－8的个位数字是( )
A．2 B．5
C．6 D．7
[解析]　x＋x－1＝3 x2＋x－2＝7 x4＋x－4＝47 x8＋x－8＝472－2.故选D.
a3第三章　§2
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．若3a·9b＝，则下列等式正确的是( )
A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1
[解析]　3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，则a＋2b＝－1.故选C.
2．(eq \r(x·\r(3,x－2)))化成分数指数幂为( )
A．x B．x
C．x D．x
[解析]　原式＝(x·x)＝(x)＝＝x.故选B.
3．若3x－2y＝2，则＝( )
A． B．
C．5 D．25
[解析]　＝52y－3x＝5－2＝.故选B.
4．已知am＝4，an＝3，则的值为( )
A． B．6
C． D．2
[解析]　＝＝＝.故选A.
5．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)的结果为( )
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
[解析]　原式 ＝(－6·a－3－1b＋1)÷(4a－4b)
＝－a－4＋4·b＝－b2.故选A.
二、填空题
6．计算：(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0＝ 64　.
[解析]　原式＝(0.33)－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
7．化简eq \r(3,a·\r(a－3))÷(a>0)的结果是 1　.
[解析]　 eq \r(3,a·\r(a－3))÷＝eq \r(3,a·a)÷eq \r(a·a)＝÷＝a÷a＝1.
三、解答题
8．计算下列各式的值(式中的字母均为正实数)：
(1)－＋(1.5)－2；
(2)2xy÷(x·)；
(3)(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)．
[解析]　(1)－＋(1.5)－2＝－＋－2＝－＋2＝－＋＝.
(2)2xy÷(x·)＝2xy·(xy)＝2xy.
(3)(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝4x－33－4x＋4＝－23.
9．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(x，y∈R)．(e＝
2．718…为常数)
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
[解析]　(1)[f(x)]2－[g(x)]2
＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]
＝(ex－e－x＋ex＋e－x)(ex－e－x－ex－e－x)
＝2ex·(－2e－x)＝－4e0＝－4.
(2)由f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)
＝g(x＋y)－g(x－y)＝4.
同理可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8，
所以g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
所以＝＝3.
B　组·素养提升
一、选择题
1．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
[解析]　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.故选D.
2．(多选题)下列等式能够成立的是( 　 )
A．7＝n7·m－7(m≠n，m≠0)
B．＝(－3)
C．＝(x＋y) (x≥0，y≥0)
D．＝3
[解析]　因为7＝＝n7·m－7，所以A正确；因为＝＝3≠(－3)，所以B错误；因为＝(x3＋y3)≠(x＋y)，所以C错误；因为＝＝3，所以D正确．故选AD.
二、填空题
3．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则α＋β＝ 8　.
[解析]　由根与系数的关系，得α＋β＝－，所以α＋β＝＝＝23＝8.
4．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a>0，且a≠1，则a4m＋n的值为 4　.
[解析]　因为a2m＋n＝2－2，am－n＝28，两式相乘得a3m＝26，所以am＝22.将am＝22代入am－n＝28，所以an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.
三、解答题
5．(1)计算：(×)6－4×－(2 024)0＋[(－5)4]－；
(2)化简eq \f(\r(a3b2·\r(3,ab2)), ab 4ab)(a>0，b>0)．
[解析]　(1)原式＝22×33－4×－1＋5－2＝108－7－1＋3＝103.
(2)原式＝eq \f(abab,ab2ab)＝ab＝ab－1.
6．已知函数f(x)＝.
(1)求f；
(2)求f(x)＋f(1－x)的值；
(3)求f＋f＋f＋…＋f＋
f的值．
[解析]　(1)f＝＝.
(2)f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(1)(2)知f＋f＋…＋f＋f＝.
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