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第三章　§3　第1课时
素养作业　提技能
　A　组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝(－1)x在R上是( )
A．增函数 B．奇函数
C．偶函数 D．减函数
[解析]　∵0<－1<1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．故选D.
2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝( )
A．不确定 B．0
C．1 D．2
[解析]　因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1；由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.故选C.
3．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是( )
A．[0,1] B．[－1,0]
C． D．
[解析]　∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，
∴－1≤1－2x≤0.故选B.
4．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
[解析]　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则g(－x)＝－x＝πx＝y，点(－x，y)为g(x)的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称．故选C.
5．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
A B C D
[解析]　由于06．若A．aa>1
C．0[解析]　∵y＝x在R上是减函数，二、填空题
7．若函数y＝(t－3)ax＋4－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则t＝_4__，b＝_4__.
[解析]　t－3＝1,4－b＝0，得t＝4，b＝4.
8．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是 (1,2)　.
[解析]　由题意得0三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解析]　(1)因为函数图象过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)．
由x≥0，得x－1≥－1，于是0所以所求函数的值域为(0,2]．
10．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；
(2)y＝2x＋1.
[解析]　(1)由5x－1≥0，得x≥.
故所求函数定义域为.
由≥0，得y≥1.
故所求函数值域为{y|y≥1}．
(2)所求函数定义域为R，
由2x>0，可得2x＋1>1.
故所求函数值域为{y|y>1}．
B　组·素养提升
一、选择题
1．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1
C．a>且a≠1 D．a≥
[解析]　由于函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.故选C.
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
A B C D
[解析]　∵y＝a|x|为偶函数，
∴其图象关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图象一致．故选B.
3．定义运算a*b＝如1]( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
[解析]　由题意知函数f(x)的图象如图，
∴函数的值域为(0,1]．故选D.
4．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的有( 　 )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
[解析]　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B正确；
f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．故选CD.
二、填空题
5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x，则f＝ －2　.
[解析]　因为当x＞0时，f(x)＝4x，
所以f＝4＝2.
又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f＝－f＝－2.
6．已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝ 或　.
[解析]　若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a>1，所以a＝.
若0当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝.
综上所述，a的值为或.
7．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域、值域都是[0,2]，则实数a的值为 　.
[解析]　当a>1时，由题意得解得a＝.
当0综上可知a＝.
三、解答题
8．函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．
[解析]　(1)由已知得
∴k＝1，a＝，∴f(x)＝2x.
(2)函数g(x)为奇函数．
证明：g(x)＝，其定义域为R，
又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，
∴函数g(x)为奇函数．
9．为了检验某种溶液的挥发性，在容积为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积．已知溶液注入过程中，其容积y(L)与时间t(min)成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y与t的关系为y＝(a为常数)，如图：
(1)求容积y与时间t之间的函数关系式；
(2)当容器中的溶液少于8 mL时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？
[解析]　(1)当0≤t≤2时，设函数的解析式为y＝kt(k≠0)，将点(2,1)代入得k＝，所以y＝t；当t>2时，函数的解析式为y＝，将点(2,1)代入得a＝，所以y＝.
综上有y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t，0≤t≤2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))，t>2.))
(2)由题可得y≤0.008＝，即得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))≤\f(1,125)，,t>2，))
由题意知至少需要经过92分钟后，试验才能结束．
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第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
课标要求 核心素养
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质．
3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小．
4．通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题. 指数函数的学习，学生应掌握指数函数的概念和性质，运用信息技术学习、探索和解决问题．培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.
第1课时　指数函数的概念　指数函数的图象和性质
必备知识　探新知
知识点1　指数函数
(1)定义：给定正数a，且a≠1时，___________是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
(2)性质：①定义域是R，函数值大于_____；②图象过定点_____________.
知识点2　指数函数y＝ax(a>1)的图象和性质
(1)单调性：在R上是_____函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于___________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于_____.
y＝ax
0
(0,1)
增
正无穷大
0
(2)函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)的关系．
图象
大小 ①当x<0时，0②当x＝0时，ax＝bx＝1；
③当x>0时，ax>bx>1
知识点3　指数函数y＝ax(0(1)单调性：在R上是_____函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于_____；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于___________.
(2)函数y＝ax和y＝bx(0图象
大小 ①当x<0时，____________；
②当x＝0时，ax＝bx＝1；
③当x>0时，__________________
减
0
正无穷大
ax>bx>1
0知识点4　指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点_____________，即x＝0时，y＝_____
(0,1)
1
a>1 0性质 (4)当x<0时，_____________；当x>0时，_________ (4)当x<0时，_________；当x>0时，_____________
(5)在R上为_____函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. (5)在R上为_____函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大.
0y>1
y>1
0增
减
关键能力　攻重难
●题型一　指数函数的概念
例1：(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
[分析]　利用指数函数的定义进行判断．
[解析]　(1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；
函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；
函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数．故选B.
[归纳提升]
归纳提升：
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞ 0，a≠1)这一结构形式．
〉对点训练1
●题型二　利用指数函数的单调性比较大小
例2：比较下列各题中两个值的大小．
[解析]　(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
又2.2<3，∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
[归纳提升]
归纳提升：
比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量作比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．
〉对点训练2
比较下列每组中两个数的大小：
(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；
[解析]　(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.
●题型三　与指数函数有关的定义域、值域问题
例3：求下列函数的定义域和值域：
[分析]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．
[归纳提升]
归纳提升：
1．函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域
①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
〉对点训练3
●易错警示　解与指数相关的不等式时未讨论
例4：如果a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[错解]　由于a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
所以x的取值范围是x≤－6.
[辨析]　所求不等式中的底数为不定常数a，因此在解不等式时要分01两种情况讨论。
[正解]　①当01时，由于a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，x的取值范围是：当01时，{x|x≤ －6}．
[点评]　底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式(方程)求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．
课堂检测　固双基
1．函数y＝3－x的图象是( )
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
[答案]　B
3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[解析]　不等式2x＋1＜20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.故选D.
4．函数y＝2x(x≥0)的值域是______________.
[解析]　∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，
∴x≥0即y≥20＝1，
∴值域为[1，＋∞)．
[1，＋∞)
[解析]　由ax－1≥0，得ax≥1.
∵函数的定义域是(－∞，0]，∴ax≥1的解集为
(－∞，0]，∴0＜a＜1.
(0,1)

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