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第三章　§3　第2课时
素养作业　提技能
A　组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(0,9)
C． D．
[解析]　因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为.故选C.
2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．00 D．0[解析]　从图象的变化趋势可知，0∴－b>0，即b<0.故选D.
3．，34，－2的大小关系为( )
A．<－2<34 B．<34<－2
C．－2<<34 D．－2<34<
[解析]　由34＝－4，又y＝x为R上的减函数，所以<－2<－4.故选A.
4．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
[解析]　因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．故选B.
5．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．
C．(－∞，1) D．
[解析]　由题意，得2a＋1>3－2a，
∴4a>2，∴a>.故选B.
6．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(－1,0)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
[解析]　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(－1,0)上单调递增，
则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(－1,0)上单调递增，因此≤－1，解得a≤－2，
所以a的取值范围是(－∞，－2]．故选A.
二、填空题
7．若函数f(x)的定义域是，则函数f(2x)的定义域是 (－1,0)　.
[解析]　由<2x<1得－18．在函数y＝ax(a>0且a≠1)中，若x∈[1,2]时最大值比最小值大，则a的值为 或　.
[解析]　当a>1时，有a2－a＝，∴a2－a＝0，∴a＝.
当0∴a＝.综上，a的值为或.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
[解析]　(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，
所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意．
(2)f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．
理由：设任意的x1，x2∈R，且x1因为x10,3x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x1)10．已知函数f(x)＝ex＋.
(1)判断f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式f(2x)≥f(x＋1)．
[解析]　(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＝
由0≤x10，
所以<0，－1>0，故<0，
即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在区间[0＋∞)上单调递增．
(2)函数f(x)的定义域为R，
因为 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝e－x＋＝＋ex＝f(x)．
所以f(x)为偶函数．
又由(1)知，f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，
所以f(2x)≥f(x＋1)等价于|2x|≥|x＋1|，
两边平方，得3x2－2x－1≥0，
解得x≥1或x≤－，
所以不等式的解集为.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)其中(a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为( )
A B C D
[解析]　由二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a、b；
根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；
观察f(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，
又由a>b，可得b<－1,0在函数g(x)＝ax＋b可得，由0又由b<－1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，B、C、D均不满足；故选A.
2．(多选题)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( 　 )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－4)>f(3)
[解析]　由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，所以A正确，B不正确；f(2)>f(1)，所以C不正确；f(－4)＝f(4)>f(3)，所以D正确．故选AD.
3．(多选题)若函数f(x)＝ex－e1－x，则下述正确的有( 　 )
A．f(x)在R上单调递增
B．f(x)的值域为(0，＋∞)
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
[解析]　因为y＝ex是定义在R上的增函数，y＝e1－x是定义在R上的减函数，所以f(x)＝ex－e1－x在R上单调递增，故A正确；因为f(0)＝e0－e＝1－e<0，故B错误；因为f＋f＝e－e＋e－e＝e－e＋e－e＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故C正确，D错误．故选AC.
4．(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( 　 )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)
B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x
D．f(2x)＝2f(x)g(x)
[解析]　A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)二、填空题
5．若不等式>4－2a成立，则实数a的取值范围为 {a|－2[解析]　因为指数函数f(x)＝x为单调递减函数，且>4－2a，即>2a，所以a2－8<2a，即a2－2a－8<0，解得－2故实数a的取值范围是{a|－26．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为_{x|x>4或x<0}__.
[解析]　因为f(x)为偶函数，则当x<0时，－x>0，
则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，所以f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
三、解答题
7．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
[解析]　函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1，1]．若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若08．已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[－2,2]使不等式f(m·4x)＋f(1－2x＋1)≥0成立，求m的最小值．
[解析]　(1)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝－1，
又f(－x)＝－f(x)，∴＝－，
即＝－，∴b＝1，∴f(x)＝.
(2)∵f(x)＝＝1－，
∴f(x)在[－2,2]上单调递增．
由f(m·4x)≥－f(1－2x＋1)＝f(2x＋1－1)在[－2,2]上成立，可得m·4x≥2x＋1－1在[－2,2]上有解，分离参数得m≥＝2·－有解，
设t＝，t∈，则m≥－t2＋2t＝－(t－1)2＋1有解，∴只需m≥(－t2＋2t)min，t∈时即可，t∈，t＝4时－t2＋2t取得最小值－8.
∴m≥－8，故m的最小值为－8.
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第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
第2课时　指数函数的图象和性质的综合应用
必备知识　探新知
知识点1　比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．也可利用幂函数的性质来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
知识点2　有关指数型函数的性质问题
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性.
关键能力　攻重难
●题型一　比较数的大小
例1：(1)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
A．aaC．ab [归纳提升]
归纳提升：
(1)中间值法：当要比较的数底数、指数均不同时，要考虑将1,0等作为中间值进行比较；
(2)利用幂函数：对于底数不同，指数相同的数，可以利用对应的幂函数的单调性进行比较．
〉对点训练1
●题型二　指数函数图象的应用
例2：(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
(2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．t≤－1 B．t<－1
C．t≤－3 D．t≥－3
[解析]　(1)因为函数的图象恒过点(－1,4)，所以m－1＝0且2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.故选C.
(2)指数函数y＝3x过定点(0,1)，
函数g(x)＝3x＋1＋t过定点(0,3＋t)且为增函数，
要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，
只须函数g(x)＝3x＋1＋t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可，如图所示．
即图象不过第二象限，则3＋t≤0，所以t≤－3，则t的取值范围为：t≤－3.故选C.
[归纳提升]
归纳提升：与指数函数相关的图象问题
1．定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可．
2．平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”．
〉对点训练2
[分析]　此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．
[归纳提升]
归纳提升：
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．
〉对点训练3
[解析]　函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上单调递减，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上单调递减．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上单调递增，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)上单调递增．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，
∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．
●题型四　指数型复合函数的奇偶性
例4：设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
[解析]　(1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
故k＝1符合题意．
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0 f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4) x2＋2x>x2－4 x>－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．
[归纳提升]
归纳提升：
指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义．
〉对点训练4
课堂检测　固双基
2．已知对于任意实数a(a>0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是( )
A．(1,8) B．(1,7)
C．(0,8) D．(8,0)
[解析]　在函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8.所以函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1,8)．故选A.
3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝0.32，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
[解析]　a＝30.2>30＝1，
b＝0.2－3＝53＝125，
c＝0.32<0.30＝1，
∴b>a>c.故选B.
4．若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )
A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1
C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0
[解析]　由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0.故选D.

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