北师大版高中数学必修第一册第3章3第2课时指数函数的图象和性质的综合应用课件+练习含答案(教师用)

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北师大版高中数学必修第一册第3章3第2课时指数函数的图象和性质的综合应用课件+练习含答案(教师用)

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第三章 §3 第2课时
素养作业 提技能
A 组·基础自测
一、选择题
1.函数f(x)=3x-3(1<x≤5)的值域是( )
A.(0,+∞) B.(0,9)
C. D.
[解析] 因为1<x≤5,所以-2<x-3≤2.而函数f(x)=3x是单调递增的,于是有<f(x)≤32=9,即所求函数的值域为.故选C.
2.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0
C.00 D.0[解析] 从图象的变化趋势可知,0∴-b>0,即b<0.故选D.
3.,34,-2的大小关系为( )
A.<-2<34 B.<34<-2
C.-2<<34 D.-2<34<
[解析] 由34=-4,又y=x为R上的减函数,所以<-2<-4.故选A.
4.函数f(x)=是( )
A.偶函数,在(0,+∞)是增函数
B.奇函数,在(0,+∞)是增函数
C.偶函数,在(0,+∞)是减函数
D.奇函数,在(0,+∞)是减函数
[解析] 因为f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
又因为y=2x是增函数,y=2-x为减函数,
故f(x)=为增函数.故选B.
5.若2a+1<3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.
C.(-∞,1) D.
[解析] 由题意,得2a+1>3-2a,
∴4a>2,∴a>.故选B.
6.设函数f(x)=2x(x-a)在区间(-1,0)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
[解析] 函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(-1,0)上单调递增,
则有函数y=x(x-a)=2-在区间(-1,0)上单调递增,因此≤-1,解得a≤-2,
所以a的取值范围是(-∞,-2].故选A.
二、填空题
7.若函数f(x)的定义域是,则函数f(2x)的定义域是 (-1,0) .
[解析] 由<2x<1得-18.在函数y=ax(a>0且a≠1)中,若x∈[1,2]时最大值比最小值大,则a的值为 或 .
[解析] 当a>1时,有a2-a=,∴a2-a=0,∴a=.
当0∴a=.综上,a的值为或.
三、解答题
9.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.
[解析] (1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R,
所以f(0)==0,所以a=-1,经检验满足题意.
(2)f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.
理由:设任意的x1,x2∈R,且x1因为x10,3x2+1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)10.已知函数f(x)=ex+.
(1)判断f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式f(2x)≥f(x+1).
[解析] (1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1
由0≤x10,
所以<0,-1>0,故<0,
即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)所以f(x)在区间[0+∞)上单调递增.
(2)函数f(x)的定义域为R,
因为 x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=e-x+=+ex=f(x).
所以f(x)为偶函数.
又由(1)知,f(x)在[0,+∞)上是单调递增,
所以f(2x)≥f(x+1)等价于|2x|≥|x+1|,
两边平方,得3x2-2x-1≥0,
解得x≥1或x≤-,
所以不等式的解集为.
B 组·素养提升
一、选择题
1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)其中(a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( )
A B C D
[解析] 由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a、b;
根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a、b,即函数图象与x轴交点的横坐标;
观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(-∞,-1)与(0,1)上,
又由a>b,可得b<-1,0在函数g(x)=ax+b可得,由0又由b<-1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方;分析选项可得A符合这两点,B、C、D均不满足;故选A.
2.(多选题)设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则(   )
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(1)>f(2) D.f(-4)>f(3)
[解析] 由f(2)=a-2=4得a=,即f(x)=-|x|=2|x|,故f(-2)>f(-1),所以A正确,B不正确;f(2)>f(1),所以C不正确;f(-4)=f(4)>f(3),所以D正确.故选AD.
3.(多选题)若函数f(x)=ex-e1-x,则下述正确的有(   )
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的值域为(0,+∞)
C.y=f(x)的图象关于点对称
D.y=f(x)的图象关于直线x=对称
[解析] 因为y=ex是定义在R上的增函数,y=e1-x是定义在R上的减函数,所以f(x)=ex-e1-x在R上单调递增,故A正确;因为f(0)=e0-e=1-e<0,故B错误;因为f+f=e-e+e-e=e-e+e-e=0,所以y=f(x)的图象关于点对称,故C正确,D错误.故选AC.
4.(多选题)已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x),g(x)满足(   )
A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)
B.f(-2)C.f(x)-g(x)=π-x
D.f(2x)=2f(x)g(x)
[解析] A正确,f(-x)==-f(x),g(-x)==g(x),所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x);B正确,因为函数f(x)为增函数,所以f(-2)二、填空题
5.若不等式>4-2a成立,则实数a的取值范围为 {a|-2[解析] 因为指数函数f(x)=x为单调递减函数,且>4-2a,即>2a,所以a2-8<2a,即a2-2a-8<0,解得-2故实数a的取值范围是{a|-26.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为_{x|x>4或x<0}__.
[解析] 因为f(x)为偶函数,则当x<0时,-x>0,
则f(x)=f(-x)=2-x-4,所以f(x)=
当f(x-2)>0时,有或
解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.
三、解答题
7.如果函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值为14,求a的值.
[解析] 函数y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,x∈[-1,1].若a>1,则x=1时,函数取最大值a2+2a-1=14,解得a=3.若08.已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若存在x∈[-2,2]使不等式f(m·4x)+f(1-2x+1)≥0成立,求m的最小值.
[解析] (1)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,∴a=-1,
又f(-x)=-f(x),∴=-,
即=-,∴b=1,∴f(x)=.
(2)∵f(x)==1-,
∴f(x)在[-2,2]上单调递增.
由f(m·4x)≥-f(1-2x+1)=f(2x+1-1)在[-2,2]上成立,可得m·4x≥2x+1-1在[-2,2]上有解,分离参数得m≥=2·-有解,
设t=,t∈,则m≥-t2+2t=-(t-1)2+1有解,∴只需m≥(-t2+2t)min,t∈时即可,t∈,t=4时-t2+2t取得最小值-8.
∴m≥-8,故m的最小值为-8.
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第三章 指数运算与指数函数
§3 指数函数
第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用
必备知识 探新知
知识点1 比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断.也可利用幂函数的性质来判断.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
知识点2 有关指数型函数的性质问题
(1)求复合函数的定义域
形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再由单调性求出y=au的值域.若a的范围不确定,则需对a进行讨论.
求形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相反(即一增一减),那么复合函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性.
二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.
关键能力 攻重难
●题型一 比较数的大小
例1:(1)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
A.aaC.ab [归纳提升]
归纳提升:
(1)中间值法:当要比较的数底数、指数均不同时,要考虑将1,0等作为中间值进行比较;
(2)利用幂函数:对于底数不同,指数相同的数,可以利用对应的幂函数的单调性进行比较.
〉对点训练1
●题型二 指数函数图象的应用
例2:(1)若函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4),则m+n=( )
A.3 B.1
C.-1 D.-2
(2)要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为( )
A.t≤-1 B.t<-1
C.t≤-3 D.t≥-3
[解析] (1)因为函数的图象恒过点(-1,4),所以m-1=0且2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2,所以m+n=-1.故选C.
(2)指数函数y=3x过定点(0,1),
函数g(x)=3x+1+t过定点(0,3+t)且为增函数,
要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,
只须函数g(x)=3x+1+t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可,如图所示.
即图象不过第二象限,则3+t≤0,所以t≤-3,则t的取值范围为:t≤-3.故选C.
[归纳提升]
归纳提升:与指数函数相关的图象问题
1.定点问题:令函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可.
2.平移问题:对于横坐标x满足“加左减右”.
〉对点训练2
[分析] 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可根据复合函数的单调性对其讨论.
[归纳提升]
归纳提升:
(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f[φ(x)]单调性.
〉对点训练3
[解析] 函数f(x)的定义域为R.令t=x2-6x+17,则y=2t.∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8在(-∞,3)上单调递减,而y=2t在其定义域内是增函数,∴函数f(x)在(-∞,3)上单调递减.又∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8在[3,+∞)上单调递增,而y=2t在其定义域内是增函数,∴函数f(x)在[3,+∞)上单调递增.∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,而y=2t在其定义域内是增函数,
∴f(x)=2x2-6x+17≥28=256,∴函数f(x)的值域为[256,+∞).
●题型四 指数型复合函数的奇偶性
例4:设函数f(x)=kax-a-x(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,试判断函数的单调性(不需证明),并求不等式f(x2+2x)+f(4-x2)>0的解集.
[解析] (1)方法一:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即k-1=0,∴k=1.
当k=1时,f(x)=ax-a-x,f(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x)=-f(x),
故k=1符合题意.
∴y=ax,y=-a-x都是R上的增函数,
∴f(x)是R上的增函数.
故f(x2+2x)+f(4-x2)>0 f(x2+2x)>-f(4-x2)=f(x2-4) x2+2x>x2-4 x>-2.
∴f(x)在R上单调递增,且不等式的解集为{x|x>-2}.
[归纳提升]
归纳提升:
指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,求解时一般利用函数奇偶性的定义.
〉对点训练4
课堂检测 固双基
2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是( )
A.(1,8) B.(1,7)
C.(0,8) D.(8,0)
[解析] 在函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)中,当x=1时,f(1)=7+a0=8.所以函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(1,8).故选A.
3.已知a=30.2,b=0.2-3,c=0.32,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
[解析] a=30.2>30=1,
b=0.2-3=53=125,
c=0.32<0.30=1,
∴b>a>c.故选B.
4.若函数y=ax+(b-1)(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则有( )
A.a>1且b<1 B.0<a<1且b≤1
C.0<a<1且b>0 D.a>1且b≤0
[解析] 由函数图象不过第二象限知a>1,且x=0时,a0+(b-1)≤0,∴b≤0.故选D.

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