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第四章　§1
素养作业　提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．若logx＝z，则( B )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
[解析]　由logx＝z，得xz＝，∴()7＝(xz)7，则y＝x7z.故选B．
2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C )
A．32＝9与log39＝2
B．27＝与log27＝－
C．(－2)5＝－32与log(－2)(－32)＝5
D．100＝1与lg 1＝0
[解析]　对数的底数和真数都不能为负数．故选C．
3．对数logab中的实数a的取值范围与下列哪个不等式的解相同( D )
A．a>0 B．<0
C．a(a－1)≥0 D．>0
[解析]　对数logab中的实数a的取值要求为：a>0且a≠1，
A项显然不符合题意；
<0 0a(a－1)≥0 a≥1，或a≤0，显然C项不符合题意；>0 a(a－1)2>0且a－1≠0，所以有a>0且a≠1，显然D项符合题意．故选D．
4．方程2log3x＝的解是( A )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
[解析]　∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.故选A．
5．已知f(ex)＝x，则f(3)＝( B )
A．log3e B．ln 3
C．e3 D．3e
[解析]　令ex＝3，∴x＝ln 3，∴f(3)＝ln 3.故选B．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为( C )
A．－3 B．
C．3 D．－
[解析]　由得x∈ ；由得x＝3.故选C．
二、填空题
7．log eq \s\do10((－1))(3－2)＝ 2　.
[解析]　原式＝log eq \s\do10((－1))(－1)2＝2.
8．若log3(lg x)＝0，则x的值等于_10__.
[解析]　由log3(lg x)＝0得lg x＝1，所以x＝10.
9．若log3＝1，则x＝_－13__.
[解析]　因为log3＝1，所以＝3，所以x＝－13.
三、解答题
10．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋1)(x－1)2.
[解析]　(1)由得即
故x的取值范围是{x|x>1且x≠2}．
(2)由得
故x的取值范围是{x|x>－1且x≠0，x≠1}．
11．计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32；
(2)3log34－lg 10＋2ln 1.
[解析]　(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log34－1＋20＝3log34÷31＋1＝＋1＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．若loga3＝2log230，则a的值为( B )
A．2 B．3
C．8 D．9
[解析]　∵loga3＝2log230＝30＝1，∴a＝3.故选B．
2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( 　 )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
[解析]　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．故选ACD．
3．(多选题)下列等式中正确的是( 　 )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
[解析]　对于A，lg(lg 10)＝lg 1＝0；对于B，lg(ln e)＝lg 1＝0；对于C，若lg x＝10，则x＝1010；对于D，若ln x＝e，则x＝ee.故选AB．
4．已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于( B )
A． B．
C．10 D．100
[解析]　∵lg a＝2.31，lg b＝1.31，
∴a＝102.31，b＝101.31，∴＝＝10－1＝.故选B．
二、填空题
5．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝ 12　.
[解析]　∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝4，
又∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
6．log5[log3(log2x)]＝0，则x＝ 　.
[解析]　∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
∴x＝8＝＝＝.
7．已知实数a，b满足a＋b＝5，log2a＝log3b，则a＝_2__，b＝_3__.
[解析]　设log2a＝log3b＝k，则a＝2k，b＝3k，
所以a＋b＝2k＋3k＝5，所以k＝1，所以a＝2，b＝3.
三、解答题
8．求下列各式中x的值：
(1)x＝log eq \s\do10()4；(2)x＝log9；
(3)logx8＝－3；(4)logx＝4.
[解析]　(1)由已知得x＝4，
∴2＝22，－＝2，x＝－4.
(2)由已知得9x＝，即32x＝3.
∴2x＝，x＝.
(3)由已知得x－3＝8，即3＝23，＝2，x＝.
(4)由已知得x＝4＝.
9．设x＝log23，求的值．
[解析]　由x＝log23，得2－x＝，2x＝3，
∴＝＝(2x)2＋1＋(2－x)2＝32＋1＋2＝.
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第四章　对数运算与对数函数
§1　对数的概念
课标要求 核心素养
1．能结合指数幂的运算抽象出对数的概念．
2．能从教材实例中了解对数的相关概念，常用对数、自然对数．
3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值. 在本节学习中，利用实例使学生理解由指数式向对数式的转化，从而引出对数的概念．并使学生掌握指数式与对数式的互化，提升运算能力及逻辑推理能力.
必备知识　探新知
知识点1　对数的概念
(1)定义
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
(2)特殊对数
常用对数：以10为底，记作__________；
自然对数：以e为底，记作__________.
(3)指数与对数的关系
当a>0，且a≠1时，ab＝N _____________.
lg N
ln N
b＝logaN
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝______.
(3)logaa＝______.
0
1
关键能力　攻重难
●题型一　对数的定义
例1：(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________ ______________.
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
[分析]　(1)底数大于0且不等于1，真数大于0，对数式才有意义．
(2)按指、对数式互化的方法进行互化．
2且x≠3
[归纳提升]
归纳提升：
1．指数式与对数式互化的方法技巧
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式的互化公式互化时，要注意字母的位置改变.
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常书写．
〉对点训练1
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
[解析]　(1)log416＝2.
(2)lg 100＝2.
●题型二　对数基本性质的应用
例2：求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；(2)log3(log7x)＝1；
(3)lg(ln x)＝1；(4)lg(ln x)＝0.
[分析]　利用指数式与对数式的互化进行解答．
[解析]　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.
(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.
(3)lg (ln x)＝1，ln x＝10，∴x＝e10.
(4)lg (ln x)＝0，ln x＝1，∴x＝e.
[归纳提升]
归纳提升：对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
〉对点训练2
●题型三　对数恒等式的应用
例3：计算：
[归纳提升]
归纳提升：运用对数恒等式时注意事项
①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〉对点训练3
课堂检测　固双基
1．下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成为对数式；
③以10为底的对数叫作常用对数；
④以e为底的对数叫作自然对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①正确；②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确．故选C．
2．若log3x＝3，则x＝(　　)
A．1 B．3
C．9 D．27
[解析]　因为log3x＝3，所以x＝33＝27.故选D．
3．若a2 024＝b(a>0，且a≠1)，则(　　)
A．logab＝2 024 B．logba＝2 024
C．log2 024a＝b D．log2 024b＝a
[解析]　若a2 024＝b(a>0且a≠1)，则2 024＝logab.故选A．
4．若log2(log3x)＝0，则x＝______.
[解析]　由题意得log3x＝1，∴x＝3.
3

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