资源简介

第四章　§2
素养作业　提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于( B )
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
[解析]　lg 12＝lg 4＋lg 3＝2 lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选B．
2．若10a＝5，10b＝2，则a＋b等于( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析]　由已知得a＝lg 5，b＝lg 2，
故a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选C．
3．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( B )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
[解析]　当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，虽然logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．故选B．
4．设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝( B )
A． B．10
C．8 D．100
[解析]　由题意知a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1，∴m＝10.故选B．
5．若lg x＝m，lg y＝n，则lg－lg2的值等于( D )
A．m－2n－2 B．m－2n－1
C．m－2n＋1 D．m－2n＋2
[解析]　lg －lg2＝lg x－2(lg y－lg 10)＝m－2n＋2.故选D．
二、填空题
6．(lg 5)2－(lg 2)2＋lg 4＝_1__.
[解析]　原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋lg 4
＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.故答案为1.
7．方程log2(x2－8)＝1＋log2x的解是 x＝4　.
[解析]　∵log2(x2－8)＝1＋log2x，
∴x2－8－2x＝0，∴x＝4或－2(舍去)．
三、解答题
8．计算下列各式的值：
(1)；
(2)log535－2log5＋log57－log51.8；
(3)2(lg)2＋lg·lg 5＋.
[解析]　(1)原式＝eq \f(lg 33 ＋lg 23－3lg 10,lg\f(3×22,10))
＝＝.
(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
(3)原式＝lg(2lg＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg
＝lg＋1－lg
＝1.
B组·素养提升
一、选择题
1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为( B )
A． B．
C．2 D．1
[解析]　由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋＝.故选B．
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( A )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[解析]　log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)
＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．
3．(多选题)下列等式不成立的是( 　 )
A．ln e＝1 B．＝a
C．lg(MN)＝lg M＋lg N D．log2(－5)2＝2log2(－5)
[解析]　根据对数式的运算，可得ln e＝1，故A成立；由根式与指数式的互化可得＝a，故B成立；取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．故选CD．
4．(多选题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( 　 )
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C．＝＋ D．＝－
[解析]　由a，b，c都是正数，可设4a＝6b＝9c＝M，
∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则＝logM4，＝logM6，＝logM9，∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－，去分母整理得ab＋bc＝2ac.故选AD．
二、填空题
5．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝ 1　.
[解析]　∵logax＝＝2，∴logxa＝.同理logxc＝，logxb＝.
∴log(abc)x＝＝＝1.
6．火箭最大速度的计算公式为v＝V0ln .其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2 km/s，则当火箭的最大速度v达到10 km/s时，火箭的总质量(含燃料)是火箭(除去燃料)的质量的_e5__倍．
[解析]　由题意可知：V0＝2 km/s，
v＝10 km/s，代入v＝V0ln，可得10＝2ln，
所以ln＝5，可得1＋＝e5，
所以＝e5，所以火箭的总质量(含燃料)的质量M＋m0是火箭(除去燃料)的质量m0的e5倍．
三、解答题
7．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
[解析]　由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，∴
∴＝.∴log8＝log8＝log232－1＝－log22＝－.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
第四章　对数运算与对数函数
§2　对数的运算
课标要求 核心素养
1．结合指数的运算性质推导对数的运算性质．
2．结合教材实例了解换底公式及其推导．
3．能利用对数的运算性质、换底公式进行简单的化简求值. 对数的运算性质是对数式化简、计算的工具，灵活运用它们能够简化解题过程，提高做题速度.
必备知识　探新知
知识点1　对数的运算性质
知识点2　换底公式
若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝______.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
关键能力　攻重难
●题型一　利用对数的运算性质化简求值
例1：计算下列各式的值：
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 5×lg 2＋(lg 2)2
＝2＋1－lg 2＋lg 2×(1－lg 2)＋(lg 2)2＝3.
[归纳提升]
归纳提升：利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合为积(商)的对数，即公式逆用．
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用．
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
〉对点训练1
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2×lg(5×10)
＝(lg 5)2＋lg 2×(1＋lg 5)
＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
●题型二　对数的运算性质的应用
例2：用logax，logay，logaz表示：
[归纳提升]
归纳提升：
对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
〉对点训练2
用logax，logay，logaz表示下列各式：
[解析]　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.
●题型三　换底公式的应用
(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．
[分析]　(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是相邻后一个对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
[归纳提升]
归纳提升：关于换底公式的用途和本质
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法.
〉对点训练3
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
●易错警示　忽视真数大于零致误
例4：解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.
[辨析]　解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
[正解]　∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，
∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.
[点评]　在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．
课堂检测　固双基
1．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析]　原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2．故选C．
2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
[解析]　设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以c＝ab.故选C．

展开更多......

收起↑