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第四章　§3　3.3
素养作业　提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．若f(x)＝eq \f(1,log 2x＋1 )，则f(x)的定义域为( C )
A． B．
C．∪(0，＋∞) D．
[解析]　由题意知
解得x＞－且x≠0.故选C．
2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( A )
A．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B．奇函数，且在(0，1)上是减函数
C．偶函数，且在(0，1)上是增函数
D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
[解析]　由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．故选A．
3．已知loga>logb>0，则a，b的取值范围是( C )
A．1C．0[解析]　由loga>logb>0，得－loga3>－logb3>0，得loga34．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为( A )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
[解析]　由2x2－3x＋1>0得(2x－1)(x－1)>0，解得x<或x>1.设t＝2x2－3x＋1＝22－，所以函数t的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝logt为减函数，故y＝log(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．故选A．
5．函数y＝ln的图象为( A )
[解析]　易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A．
二、填空题
6．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝ 3　.
[解析]　当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
7．若函数y＝log0.5(x2－6x＋13)的定义域为[2，5]，则该函数的值域是 [－3，－2]　.
[解析]　y＝log0.5(x2－6x＋13)＝log0.5[(x－3)2＋4]，而当x∈[2，5]时，(x－3)2＋4∈[4，8]，令y＝log0.5t，则t∈[4，8]，因为该函数是减函数，所以该函数的值域是[log0.58，log0.54]，即[－3，－2]．
8．如图所示的曲线分别是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d，1，0的大小关系为_b>a>1>d>c>0__(用“＞”号连接)．
[解析]　由题图可知a>1，b>1，0直线y＝1与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b.故答案为b>a>1>d>c>0.
三、解答题
9．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
[解析]　(1)当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝log(－x)，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,logx≤2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<0，,－log －x ≤2，))
解得x≥或－4≤x<0.
∴不等式的解集.
10．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝50log2.
(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则森林面积至少为多少个单位？
(2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？
[解析]　(1)由题意，当Q＝0时，代入关系式可得0＝50log2，解得S＝10，
因为Q随S的增大而增大，所以当Q≥0时S≥10.
所以要保证森林具有净化效果，则森林面积至少为10个单位．
(2)将S＝80代入解析式，得Q＝50log2＝150，
所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．
B组·素养提升
一、选择题
1．设a＝()1.2，b＝log3，c＝ln，则a，b，c的大小关系是( D )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
[解析]　根据指数函数和对数函数的性质，可得a＝()1.2＝20.6>20＝1，b＝log3c>b.故选D．
2．若对任意的实数x，都有loga(ex＋3)≥1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( B )
A． B．(1，3]
C．(1，3) D．[3，＋∞)
[解析]　∵loga(ex＋3)≥1＝logaa对任意实数x都成立，∴a>1且a≤ex＋3，又ex＋3>3，∴13．(多选题)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么( 　 )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
[解析]　由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．
设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；
由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．
又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是( 　 )
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
[解析]　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．故选ABC．
二、填空题
5．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ 1　.
[解析]　∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
∴－ln(－1＋)＝ln(1＋)，
∴ln(1＋)＋ln(－1＋)＝0，
∴ln[()2－1]＝0，
∴ln a＝0，∴a＝1.
6．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是_(1，2)__.
[解析]　若f(x)，g(x)均为增函数，
则
即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，
则无解．
综上，a的取值范围是(1，2)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
[解析]　(1)使函数f(x)－g(x)有意义，
必须有解得－＜x＜.
所以函数f(x)－g(x)的定义域是.
(2)f(x)－g(x)为奇函数．证明：由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，
∴函数f(x)－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x)．
当a＞1时，有
解得x的取值范围是.
当0＜a＜1时，有
解得x的取值范围是.
综上所述，当a＞1时，x的取值范围是；
当0＜a＜1时，x的取值范围是.
8．已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，
∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，
∴ln＝ln，∴＝，
整理得2x(a－1)＝0，
∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
要使函数f(x)有意义，应满足
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1，1)．
设任意x1，x2∈(－1，1)，且x1∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)
＝ln(1－x)－ln(1－x)
当－1x，1－x<1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1，0)上是增函数，
当0≤x1x1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)在[0，1)上是减函数．
综上可知，函数f(x)在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数．
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第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
必备知识　探新知
知识点　对数函数的图象和性质
(1)图象和性质
a>1 0图象
性质 ①定义域：(0，＋∞)
②值域：R
③过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
a>1 0性质 ④当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
⑤在定义域(0，＋∞)上是增函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 ⑤在定义域(0，＋∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
(2)本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质；
(3)应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围．
关键能力　攻重难
●题型一　对数函数的图象
A．a4C．a2[分析]　由图象来判断参数的大小，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．
[解析]　在图中作一条直线y＝1.
同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．
由图象可知a3 [归纳提升]
归纳提升：
1．熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
2．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．
(1)当01，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或大于0且小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1，03．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
〉对点训练1
已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　)
[解析]　由lg a＋lg b＝0得ab＝1，
则f(x)与g(x)的单调性一致．故选B．
●题型二　对数型复合函数的单调性
例2：讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当0 [归纳提升]
归纳提升：
1．求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数 单调性
y＝f(μ) 增函数 增函数 减函数 减函数
μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数
〉对点训练2
[解析]　由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)和(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减．故选A．
●题型三　对数型复合函数的值域
例3：求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
[解析]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0 [归纳提升]
归纳提升：
1．与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的解题步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．
〉对点训练3
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]　设u＝3x＋1，∵3x＋1>1，且y＝log2u在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)，故选A．
●题型四　对数型复合函数的奇偶性
例4：已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[分析]　(1)函数奇偶性判断的方法是什么？
(2)对数的运算法则是什么？
∴函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
[归纳提升]
归纳提升：
判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
〉对点训练4
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[解析]　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∴函数f(x)为奇函数．故选A．
●易错警示　忽视对数函数的定义域
例5：若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(1，＋∞)
[错解]　错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，根据对数函数在0错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D．
[辨析]　在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解]　令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.
综上可得1[点评]　对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0，1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注.
课堂检测　固双基
1．函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点(　　)
A．(4，2) B．(4，0)
C．(5，0) D．(5，2)
[解析]　由于loga1＝0(a>0且a≠1)，则函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点(5，2)．故选D．
2．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
[解析]　由对数函数的单调性易知03．函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
[解析]　令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3
在(－∞，－1)和(3，＋∞)上的递减区间．故选A．
4．若函数f(x)＝logax(0倍，则a的值为______.
[解析]　由题意得f(x)max＝logaa＝1，
f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．

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