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(共30张PPT)
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
课标要求 核心素养
1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理. 1．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，培养学生直观想象的核心素养．
2．会用函数单调性及图象判断零点个数，培养学生逻辑推理的核心素养.
必备知识　探新知
知识点1　函数的零点
(1)零点的概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的_____，也称为函数f(x)的_______.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的_________.
(2)零点的意义
解
零点
横坐标
知识点2　零点存在定理
(1)零点存在定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条______的曲线，并且在区间端点的函数值__________，即__________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程___________至少有一个解．
(2)本质：函数在区间(a，b)内存在零点即方程f(x)＝0有解的理论依据．
(3)应用：判断函数零点(方程的解)所在区间或求规定区间内函数零点(方程的解)的个数等问题．
连续
一正一负
f(a)·f(b)<0
f(x)＝0
关键能力　攻重难
●题型一　求函数的零点
例1：求下列函数的零点：
(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6；(3)f(x)＝1－log3x.
[分析]　把函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．
[解析]　(1)令x－1＝0，得x＝1，
∴函数y＝x－1的零点是1.
(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，
令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，
∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.
(3)令1－log3x＝0，所以log3x＝1，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
[归纳提升]
归纳提升：函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点横坐标即为函数的零点．
〉对点训练1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，所以2x＝3，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
●题型二　零点个数的判断
例2：判断下列函数的零点个数：
[解析]　(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3，4，
∴函数f(x)有两个零点，分别是3，4.
[归纳提升]
归纳提升：判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个零点．
(2)图象交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象，根据图象的交点个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点．
〉对点训练2
函数f(x)＝3x－log2(－x)的零点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
●题型三　判断函数零点所在的区间
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(e，＋∞)
[归纳提升]
归纳提升：判断函数零点所在区间的步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
〉对点训练3
根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
[解析]　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，所以方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1，2)内．故选C．
●易错警示　题意理解不正确导致错误
例4：已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_______________.
[错解]　[1，＋∞)
[辨析]　把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象有且仅有两个交点问题，画出两个函数的图象，然后利用数形结合思想求出参数a的范围．当a＝1时，两函数图象仅有一个交点，不满足题意．
(1，＋∞)
[正解]　函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．
由图易知，当a＞1时，两函数的图象有且仅有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
[点评]　已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
1．直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围．
2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的图象易画出)，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)，g(x)的图象，然后利用数形结合思想求解．
课堂检测　固双基
1．下列图象对应的函数中没有零点的是(　　)
[解析]　因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．故选A．
A．0 B．1
C．2 D．无数个
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
4．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝_______.
[解析]　∵函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为1，
∴2－a＋3＝0，∴a＝5.∴f(x)＝2x2－5x＋3，
∴f(－1)＝2×(－1)2－5×(－1)＋3＝10.
10
5．函数f(x)＝x2＋kx－2k2的顶点在直线x＝2上，求f(x)的零点．
∴k＝－4，
由x2－4x－32＝0，得f(x)的零点为－4和8.第五章　§1　1.1
素养作业　提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．函数f(x)＝x2＋的零点个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　函数f(x)＝x2＋的定义域为{x|x≠0}，令f(x)＝x2＋＝0，即x3＝－1，解得x＝－1，所以函数f(x)＝x2＋的零点个数是1个．故选B．
2．下列命题中真命题的个数是( D )
①若f(a)·f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上单调且图象连续，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点；
②若f(a)·f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上单调且图象连续，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点；
③若f(a)·f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则函数f(x)是否存在零点不确定；
④若f(a)·f(b)＝0，则a或b是函数f(x)的零点．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　根据函数零点的概念及函数零点存在定理可得四个命题都是真命题．故选D．
3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( D )
A．(0，1) B．(－1，0)
C．(2，3) D．(1，2)
[解析]　由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点所在区间为(1，2)．故选D．
4．函数f(x)＝的零点个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　方法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
方法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．故选C．
5．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝有三个不同的实根，则实数k的取值范围是( B )
A．(1，2] B．[1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，2]
[解析]　当x＜2时，令(x－1)2＝，解得x1＝＋1，x2＝－＋1，故f(x)＝在x＜2时有两个不同的实根．
又方程f(x)＝有三个不同的实根，则x≥2时，f(x)＝有一个实根，由f(x)＝＝，得x＝2k≥2，所以k≥1.故选B．
二、填空题
6．已知f(x)＝x2＋mx＋n的零点为1和3，则m＋n＝_－1__.
[解析]　因为f(x)＝x2＋mx＋n的零点为1和3，即x2＋mx＋n＝0的两根为1和3，所以解得所以m＋n＝3－4＝－1.
7．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是_(0，4)__.
[解析]　由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象(如图)，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
三、解答题
8．已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析]　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－＝2，∴－＝4.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2－＝16－＝10，
∴a＝1，b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 011个，则f(x)的零点的个数为( D )
A．1 011 B．1 012
C．2 022 D．2 023
[解析]　∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 011个零点，
∴在(－∞，0)内也有1 011个零点．
又∵f(0)＝0，∴共有2 022＋1＝2 023(个)零点．故选D．
2．(多选题)下列图象对应的函数中有两个零点的是( 　 )
　　　
A　　　　B　　　　　C　　　　D
[解析]　因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴有几个交点，则函数有几个零点．观察四个图象，可知C、D有两个零点．故选CD．
3．(多选题)若关于x的方程＝kx有三个不等零点，则实数k可取值为( 　 )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意可知k≠0，
∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|，
当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，
∴>0，∴k>0或k<－.
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝，
∴<0，∴0综上可知，k的取值范围是.故选ACD．
二、填空题
4．观察下图函数y＝f(x)的图象，填空：
当x∈_{－2，2，3}__时，f(x)＝0；
当x∈_(－∞，－2)∪(3，＋∞)__时，f(x)＞0；
当x∈_(－2，2)∪(2，3)__时，f(x)＜0.
[解析]　根据图象知，f(x)＝0的解集是：{－2，2，3}．
f(x)＞0的解集是：(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
f(x)＜0的解集是：(－2，2)∪(2，3)．
5．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是_(－∞，1]__.
[解析]　当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
三、解答题
6．已知函数f(2x－1)＝4x2－2x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝(1－2m)x＋2－2m有两个实根，其中一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根在区间(2，3)内，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)函数满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3，f(2x－1)＝(2x－1)2＋2x－1＋3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋3.
(2)f(x)＝x2＋x＋3＝(1－2m)x＋2－2m，整理得x2＋2mx＋1＋2m＝0，
又因为方程有两个实根，且x1∈(－1，0)，x2∈(2，3)，
设g(x)＝x2＋2mx＋1＋2m，由二次函数的图象与性质，
可得解得－21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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