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第七章　概率
§3　频率与概率
课标要求 核心素养
1．理解频率、概率的区别与联系．
2．结合实例，能用频率估计概率. 通过本节课的学习，提升学生的数学抽象和数据分析素养.
必备知识　探新知
知识点1　概率的概念与性质
(1)概率的定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个_______附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率．
(2)记法：________.
(3)范围：______________.
知识点2　频率与概率的关系
概率是可以通过_______来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似．概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．
常数
P(A)
0≤P(A)≤1
频率
关键能力　攻重难
●题型一　概率概念的理解
例1：下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
[解析]　一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D．
[归纳提升]
归纳提升：对概率的深入理解
1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值．
2．由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
〉对点训练1
下列说法正确的是(　　)
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
●题型二　概率与频率的关系及求法
例2：下面是某批乒乓球质量检查结果表：
(1)在上表中填上优等品出现的频率；
(2)估计该批乒乓球优等品的概率．
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率
[解析]　(1)
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95.　　
[归纳提升]
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
归纳提升：频率与概率的认识
1．理论依据：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．
3．得出概率：从频率估计出概率．
〉对点训练2
某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1 000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.5 D．0.6
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
●题型三　概率的应用
例3：为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2 000条鱼，给每条鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条，查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．
[归纳提升]
归纳提升：
1．由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
〉对点训练3
为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如表：
项目 跳绳
一般 良好 优秀
50米往返跑 一般 1 3 1
良好 b 3 2
优秀 3 1 a
(1)求a，b的值；
(2)从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．
解得a＝2，b＝4.
(2)根据表格知，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人分别为1，2，3，4，5，6，
其中5，6表示这6人中跳绳为优秀的学生，
从这6人中抽取2人的所有情况为：
12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种情况，其中至少有一位跳绳优秀的情况有：
15，16，25，26，35，36，45，46，56，共9种情况，
●易错警示　混淆概率与频率的概念
例4：把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为_________.
[错解]　0.496
0.5
[正解]　0.5
课堂检测　固双基
1．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如，预报“明天降水概率为78%”，这是指(　　)
A．明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水
B．明天该地区降水的可能性大小为78%
C．气象台的专家中，有78%的人认为会降水，另外22%的专家认为不降水
D．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水
[解析]　根据概率的意义“明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性大小为78%.故选B．
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则下列说法正确的是(　　)
D．每抽10台电视机，必有1台次品
3．袋内装有一个黑球与一个白球，从袋中取出一球，在100次摸球中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为(　　)
A．49 B．51
C．0.49 D．0.51
[解析]　因为摸到黑球的频率为0.49，所以摸到白球的频率为0.51，从而摸到白球的次数为100×0.51＝51.故选B．
4．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是___________.
0.03第七章　§3
素养作业　提技能
A组·基础自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( C )
A．事件A的概率P(A)，必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[解析]　由概率的基本性质知，0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C．
2．某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]
频数 20 30 80 40 30
则该植物一年生长在[30，40)内的频率是( C )
A．0.80 B．0.65
C．0.40 D．0.25
[解析]　根据表格中的数据，可得该植物一年生长在[30，40)内的频率为＝0.40.故选C．
3．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒．这批米内夹谷约为( B )
A．134石 B．169石
C．338石 D．454石
[解析]　由题意可知这批米内夹谷约为1 534×≈169(石)．故选B．
4．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面向上的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析]　每一次出现正面向上的概率相等，都是.故选D．
5．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为( B )
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
[解析]　8 000×(1－2%)＝7 840(件)．故选B．
6．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色．该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为________公司的车辆较合理．( B )
A．甲 B．乙
C．甲与乙 D．无法确定
[解析]　肇事车为甲公司车辆的概率为＝，为乙公司车辆的概率为＝.显然肇事车为乙公司车辆的概率远大于为甲公司车辆的概率．故选B．
二、填空题
7．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频数为_53__，事件A出现的频率为_0.53__.
8．一个口袋内装有已编号的大小相同的1个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则摸出的2个球全是黑球的概率是 　.
[解析]　摸出的小球所有可能情况为(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，黑2)，故摸出的2球全是黑球的概率是.
9．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有_④__.
[解析]　①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
三、解答题
10．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面表格：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率．
[解析]　由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
11．随机抽取一个年份，对甲市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任选一天，估计甲市在该天不下雨的概率；
(2)甲市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解析]　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，甲市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
B　组·素养提升
一、选择题
1．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间(单位：时)进行调查，统计数据如下表所示：
学习时间(时) [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10]
党员人数 8 13 9 10 10
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为( B )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[解析]　由统计表可知，样本容量为8＋13＋9＋10＋10＝50人，学习时间不少于6小时有10＋10＝20人，所以学习时间不少于6小时的概率为＝＝0.4.故选B．
2．在10人中，有4个学生，2个干部，3个工人，1个农民，则是学生数占总体分布的( B )
A．频数 B．频率
C．概率 D．众数
[答案]　B
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( C )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于
C．出现“6点朝上”的概率等于
D．无法预测“6点朝上”的概率
[解析]　随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，故它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．故选C．
4．(多选题)下列叙述正确的是( 　 )
A．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
[解析]　A正确．由于事件的频数总是小于或等于实验的次数，从而任何事件的概率满足0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；B正确．设事件A和事件B，若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B为互斥事件；若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B为对立事件，所以互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件；C正确．甲抽到有奖奖券的概率为；乙后抽到有奖奖券的概率为×＝；D错误．某事件发生的概率是一个确定的常数，与每次试验无关，与试验的次数无关．故选ABC．
二、填空题
5．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，假设此人射击一次，则中靶的概率约是_0.9__.
[解析]　用频率估计概率可得，中靶的概率约为(10－1)÷10＝0.9.
6．从5 000袋小包装食品中抽出100袋进行质量检测，其中质量在90～95克(不含95克)之间的有40袋，质量在95～100克(不含100克)之间的有30袋，质量在100～105克(不含105克)之间的有10袋，质量在105 ～110克(不含110克)之间的有20袋，由此可估计在这5 000袋小包装食品中质量在95 ～ 105克(不含105克)之间的有_2_000__袋．
[解析]　设这5 000袋小包装食品中质量在95～105克(不含105克)之间的有x袋，则由题意知，＝，解得x＝2 000.
7．某商店试销某种商品20天，获得如表数据：
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．则当天商店不进货的概率为 　.
[解析]　记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
三、解答题
8．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如表：
所用时间/min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在表中各时间段内的频率．
[解析]　(1)由题干知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择路径L1的有60人，选择路径L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间/min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
9．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15 ，20) [20，25) [25 ，30) [30，35) [35 ，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解析]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能取值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
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