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5.3 课时4 解一元一次方程的综合
【基础堂清】
1将方程1-=-去分母后,正确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1-2x-3=3x+5
B.1-2(x-3)=-3x+5
C.4-2(x-3)=-3x+5
D.4-2(x-3)=-(3x+5)
2已知a≠1,则关于x的方程(a-1)x=1-a的解是 ( )
A.x=0 B.x=1
C.x=-1 D.无解
3某书上有一道解方程的题:+1=x.□处在印刷时被油墨盖住了,查看答案后知道这个方程的解是x=-2,则□处的数字是　 　.
【能力日清】
4下列各选项正确的是 ( )
A.由7x=4x-3移项,得7x-4x=3
B.由=1+去分母,得2(2x-1)=1+3(x-3)
C.由2(2x-1)-3(x-3)=1去括号,得4x-2-3x-9=1
D.由2(x+1)=x+7去括号、移项、合并同类项,得x=5
5若关于x的一元一次方程x+3=2x+b的解为x=-3,则关于y的一元一次方程(y+1)+3=2(y+1)+b的解为 ( )
A.y=1 B.y=-2
C.y=-3 D.y=-4
6小颖碰到一道解方程的题目:2x=5x.她在方程的两边同时除以x,竟然得到2=5,其错误的原因是 ( )
A.没有考虑x=0时的情况
B.方程无解
C.方程本身是错的
D.2x小于5x
7已知:关于x的方程+=x和3(2-x)=2x+1的解相同.求代数式(2-m)2022-(5-2m)2023-1的值.
8若新规定这样一种运算法则:a※b=a2+2ab.例如:3※(-2)=32+2×3×(-2)=-3.
(1)试求(-2)※3的值.
(2)若(-5)※x=-2-x,求x的值.
9阅读下列解题过程并解答类似的题目.
解方程:|x+2|=3.
解:由|x+2|=3,得x+2=±3,①若x+2=3,得x=1;②若x+2=-3,得x=-5.
所以原方程的解是x=1或x=-5.
(1)解方程|2x-5|-4=0.
(2)若方程|x-3|=2的解也是方程4x+m=5x+1的解,求m的值.
【素养提升】
10（新考法）我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数,事实上,所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数),那么无限循环小数如何表示为分数形式呢 请看以下示例:例:把0.转化为分数形式.
解:设0.为x,则10x=3.3333……,
可得方程10x=3+x,
解得x=.
根据以上阅读,回答下列问题:(以下计算结果均用最简分数)
(1)0.0=　　　,5.=　　　.
(2)求0..
(3)1.6=　　　.
参考答案
1.D　2.C　3.5
4.D　5.D　6.A　
7.解:解方程3(2-x)=2x+1,
得x=1.
将x=1代入+=x,
得+=1,
3(m-1)+2(m-3)=6,
3m-3+2m-6=6,
5m=15,
m=3.
将m=3代入(2-m)2022-(5-2m)2023-1,
则(2-m)2022-(5-2m)2023-1
=(-1)2022-(-1)2023-1
=1+1-1
=1.
8.解:(1)根据题中的定义可知(-2)※3=(-2)2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8.
(2)根据题意可知(-5)2+2×(-5)×x=-2-x,
整理得25-10x=-2-x,
解得x=3.
9.解:(1)由|2x-5|=4得2x-5=±4,
①若2x-5=4,则x=,
②若2x-5=-4,则x=,
所以原方程的解是x=或x=.
(2)由|x-3|=2,得x-3=±2,
①若x-3=2,则x=5,
②若x-3=-2,则x=1,
所以|x-3|=2的解是x=5或x=1.
当x=5时,20+m=25+1,解得m=6;
当x=1时,4+m=5+1,解得m=2,
所以m的值是6或2.
10.解:(1);.
提示:设0.0=x,则10x=0.3333……,100x=3.3333……,
可得方程100x=3+10x,
解得x==.
设0.=y,则10y=6.6666……,
可得方程10y=6+y,
解得y==,
所以5.=5+=.
(2)设0.=a,则100a=62.626262……,
可得方程100a=62+a,
解得a=.
(3).
提示:设0.6=b,则1000b=362.362362362……,
可得方程1000b=362+b,
解得b=,
所以1.6=1+=.5.3 课时3 去分母解方程
【基础堂清】
1解方程-1=时,为了去分母应将方程两边同时乘以 ( )　　　　　　　　　　　　
A.6 B.10 C.12 D.25
2解方程-=1时,去分母正确的是 ( )
A.4(2x-1)-9x-12=1
B.8x-4-3(3x-4)=12
C.4(2x-1)-9x+12=1
D.8x-4+3(3x-4)=12
【能力日清】
3有一道方程题+1=x, 处印刷时被墨盖住了,通过查后面的答案得知这道题的解为x=-2.5,那么 处的数为 ( )
A.-2.5 B.2.5
C.3.5 D.5
4已知方程=+5与方程3k-4x=2k+3的解相同,则k的值为 ( )
A.31 B.22
C.11 D.10
5解关于y的方程m-=2(5-y),琪琪去分母时忘了将右边乘以3,其他步骤和运算都是正确的.巧合的是,琪琪将求得的结果代入原方程,左边与右边竟然相等!则m的值为　 　.
6解方程:
(1)-=1;
(2)-1=x-.
【素养提升】
7（教材拓展）用好错题本可以有效地积累解题方法和解题技巧,把握解题策略,减少再出错的可能.下面是嘉淇错题本上的一道题,请仔细阅读并完成相应的任务.
解方程:-x=2+. 解:去分母,得2(x+1)-4x=8+(2-x),…第一步 去括号,得2x+2-4x=8+2-x,…第二步 移项,得2x-4x-x=8+2+2,…第三步 合并同类项,得-3x=12,…第四步 系数化为1,得x=-4.…第五步
任务一:
(1)填空:
①在以上解题过程中,第一步是依据　　　　　进行变形的;第二步去括号时用到的运算律是　　　　　　　.
②解题过程从第　　　　步开始出错,这一步错误的原因是　　　　　　　　.
(2)请写出该方程的正确解答过程.
任务二:
(3)请你根据平时的学习经验,就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议.
参考答案
1.C　2.B　3.D　4.A
5.4
6.解:(1)x=3.(2)x=.
7.解:(1)①等式的性质2;乘法分配律.
②三;移项没有变号.
(2)去分母,得2(x+1)-4x=8+(2-x),
去括号,得2x+2-4x=8+2-x,
移项,得2x-4x+x=8+2-2,
合并同类项,得-x=8,
系数化为1,得x=-8.
(3)(答案不唯一)去分母时要防止漏乘;括号前面是“-”号,去掉括号时括号里的各项都要变号.5.3 课时2 去括号解方程
【基础堂清】
1方程3-5(x+2)=x去括号正确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　
A.3-x+2=x　　 B.3-5x+10=x
C.3-5x-10=x D.3-x-2=x
2方程2(x-3)=3(x-2)的解为 ( )
A.0 B.-3 C.6 D.12
3对于有理数a,b,规定a b=a-2b,若4 (x-3)=2,则x的值为 ( )
A.-2 B.- C. D.4
4方程x-2(x+1)=-2的解是　 　.
5若关于x的方程3-a-x=0的解和方程2(x-1)+1=3的解相同,则a的值为 ( )
A.7　 B.2 C.1 D.-1
6设p=2x-1,q=4-3x,则当5p-6q=7时,x的值应为　 　.
7解方程:
(1)15x-3=3(x-4);
(2)5(x-1)-2(3x-1)=4x-1.
【能力日清】
8(1)当x为何值时,代数式2x-1的值比x+3的值的3倍少5
(2)当x取何值时,代数式2(3x+4)的值比5(2x-7)的值大3
【素养提升】
9【阅读材料】解方程:6(x-5)=-24.
解答此题,很多同学会按部就班地先去括号,再进一步解答,解法如下:
去括号,得6x-30=-24,
移项,得6x=-24+30,
合并同类项,得6x=6,
解得x=1.
【反思回顾】仔细观察方程特征,你会发现不用去括号也能简单地解这个方程,请写出这个解题过程.
【拓展应用】受到以上方程解法的启发,可以看出有些方程的解法不墨守成规,或许有更简便的方法.试用你认为最简单的方法解方程x--8=x.
参考答案
1.C　2.A　3.D　
4.x=0　5.C　6.
7.解:(1)x=-.(2)x=-0.4.
8.解:(1)由题意,得2x-1=3(x+3)-5,
解得x=-5.
(2)由题意,得2(3x+4)-5(2x-7)=3,
解得x=10.
9.解:【反思回顾】方程两边同时除以6,
得x-5=-4,
移项,得x=5-4,
解得x=1.
【拓展应用】去括号,得x--6=x,
移项、合并同类项,得-x=6,
系数化为1,得x=-.
提示:注意到与互为倒数,乘积为1,则可先去中括号5.3 课时1 移项解方程
【基础堂清】
1方程3x-5=8-4x移项后,正确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　
A.3x-4x=8+5
B.3x+4x=8+5
C.3x+4x=8-5
D.3x-4x=8-5
2下图所示的框图表示解方程3x+3=x-5的流程,其中“移项”这一步骤的依据是 ( )
A.等式的基本性质1
B.等式的基本性质2
C.分数的基本性质
D.乘法对加法的分配律
3方程2x-3=7的解是 ( )
A.x=5 B.x=4
C.x=3.5 D.x=2
4已知代数式6x-12与4+2x的值互为相反数,那么x的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5方程x-3=13的解是　 　.
【能力日清】
6若代数式x-5与2x-1的值相等,则x的值是　 　.
7规定一种运算“*”:a*b=a-b.则方程x*2=1*x的解为　 　.
8解下列方程:
(1)6x=3x-12;(2)2x-3=4x-9.
【素养提升】
9解方程3x=x时,小明和小刚有不同的解法:
小明的解法:
解:方程两边都除以x,得3=1.
因为3≠1,
所以3=1不成立,
所以原方程无解.
小刚的解法:
解:移项,得3x+x=0.
合并同类项,得4x=0.
系数化为1,得x=0.
所以原方程的解为x=0.
经过小组讨论,同学们形成了以下4种观点:
①小明的解法正确,小刚的解法错误;
②小明的解法错误,小刚的解法正确;
③小明和小刚的解法都正确;
④小明和小刚的解法都错误.
你同意第几个观点 请指出解法错误的步骤与原因,并加以改正.
参考答案
1.B　2.A　3.A　4.C
5.x=20　6.-4　7.x=
8.解:(1)x=-4.(2)x=3.
9.解:同意第④个观点.
根据等式的性质,等式两边同时除以的数不能等于0,而解方程时未知数是否等于0并不确定,所以不能在等式两边同时除以未知数,可见小明的解法第一步就出现了错误;
小刚的解法第一步也出现了错误,忘记了“移项要变号”的规律,因此两人的解法都是错误的.
正确解法如下:
移项,得3x-x=0.
合并同类项,得2x=0.
系数化为1,得x=0.
所以,原方程的解为x=0.5.2 课时2 一元一次方程的解
【基础堂清】
1下列方程中,解是x=4的方程是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　
A.3x-2=10
B.-3x+8=-5x
C.x(x-1)=-4(x-1)
D.3(x+2)=3x+2
2已知x=3是关于x的方程5x-a=3的解,则a的值是 ( )
A.-14 B.12 C.14 D.-13
3小华想找一个解是x=2的方程,那么他会选择 ( )
A.3x+6=0 B.x=2
C.5-3x=1 D.3(x-1)=x+1
4方程5y-7=2y-中被阴影盖住的是一个常数,此方程的解是y=-1.这个常数应是 ( )
A.10 B.4 C.-4 D.-10
5在0,-1,3中,　 　是方程3x-9=0的解.
【能力日清】
6下列有理数中,不可能是关于x的方程ax+4=1的解的是 ( )
A.0 B.1 C.- D.-3
7嘉嘉同学在解关于x的方程x+3a=时,误将“x”看作“x”,得到方程的解为x=,那么原方程的解为 ( )
A.x=2 B.x=3
C.x=-3 D.x=-2
8某幼儿园买了中、小型椅子共50把,中型椅子每把8元,小型椅子每把4元,买椅子共花288元,问中、小型椅子各买了多少把 若设中型椅子买了x把,则可列方程:　 　.
9小马虎在解关于x的方程2a-5x=21时,误将“-5x”看成了“+5x”,得方程的解为x=3,则原方程的解为　 　.
10已知整式A,B是关于x的多项式,整式A,B的值随x的取值不同而不同.下表是当x取不同值时对应的整式A,B的值,则能确定关于x的方程A=B+2的一个解为　 　.
x -5 -1 1 10
A 4 2 -2 0
B 4 4 -4 0
【素养提升】
11如果abc≠0,那么以下说法是否正确 请简要说明理由.
①若a+b=0,则x=1是关于x的方程ax+b=0的解;
②若a-b=0,则x=-1是关于x的方程ax+b=0的解;
③若a+b+c=0,则x=1是关于x的方程ax+b+c=0的解;
④若ax+b=0是关于x的方程,则x=-是该方程的解;
⑤若(a-3)x|a-2|+b=0是关于x的一元一次方程,则a=1,x=-b是该方程的解.
参考答案
1.A　2.B　3.D　4.A
5.x=3
6.A　7.B
8.8x+4(50-x)=288　9.x=-3
10.x=1
11.解:因为abc≠0,所以a,b,c都不为0,则①②③④中的方程都是关于x的一元一次方程.
①把x=1代入关于x的方程ax+b=0,得a+b=0,符合条件,
所以,说法①正确;
②把x=-1代入关于x的方程-a+b=0,则a与b相等,
由a-b=0,得a与b相等,二者相符,所以说法②正确;
③把x=1代入关于x的方程ax+b+c=0,得a+b+c=0,符合条件,
所以,说法③正确;
④把x=-代入关于x的方程ax+b=0,得-b+b=0,等式成立,
所以,说法④正确;
⑤若(a-3)x|a-2|+b=0是关于x的一元一次方程,则|a-2|=1,
可得a-2=1,或a-2=-1,则a=3或a=1.
又由a-3≠0,得a≠3,故a=1,此方程为-2x+b=0.
把x=-b代入得2b+b=3b≠0,
所以x=-b不是此方程的解,说法⑤错误.5.2 课时1 认识一元一次方程
【基础堂清】
1下列各式中,是方程的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　
A.7x-4=3x B.4x-6
C.4+3=7 D.2x<5
2下列各式是一元一次方程的是 ( )
A.x+3y=4 B.x2-2x=6
C.-6x=0 D.x-1=
3已知-x2m-3+1=7是关于x的一元一次方程,则m的值是 ( )
A.-1　 B.1　 C.-2 D.2
4一个长方形的周长为30 cm,若这个长方形的长减少1 cm,宽增加2 cm就可成为一个正方形,设长方形的长为x cm,可列方程是 ( )
A.x+1=(30-x)-2
B.x+1=(15-x)-2
C.x-1=(30-x)+2
D.x-1=(15-x)+2
5若方程□-3=x是关于x的一元一次方程,则“□”可以是 ( )
A.2x B.2y C.x2 D.y2
6若(a-1)x|a|+5=0是一元一次方程,则a的值为　 　.
【能力日清】
7（情境练）根据题干设未知数列方程,并判断它是不是一元一次方程.
在一次美化校园活动中,先安排31人去拔草,18人去植树,后又增派20人去支援他们,结果拔草的人数是植树的人数的2倍.问支援拔草和植树的人数分别有多少
【素养提升】
8（教材拓展）若(m-3)x|m|-2+1=0是关于x的一元一次方程.
(1)求m的值,并写出这个一元一次方程.
(2)判断mx2-6mx+3x2+5=0是不是关于x的一元一次方程.
(3)一个关于x的方程2mx2-8x+■x2+m=0中,“■”处的数字破损了,嘉琪记得这个方程是关于x的一元一次方程,试求出“■”处的数字,并写出这个一元一次方程.
(4)先化简,再求值:3m3-m2-m-2-2m3-m2+m-3.
参考答案
1.A　2.C　3.D　4.D　5.A
6.-1
7.解:设支援拔草的有x人,由题意,得
31+x=2[18+(20-x)].它是一元一次方程.
8.解:(1)因为原方程为关于x的一元一次方程,
所以x的指数|m|-2=1,则|m|=3,m=±3.
又由x的系数m-3≠0,可知m≠3,故m=-3.
所以,原方程为-6x+1=0.
(2)当m=-3时,此方程为-3x2+18x+3x2+5=0,即18x+5=0,
所以,它是关于x的一元一次方程.
(3)当m=-3时,此方程为-6x2-8x+■x2-3=0,即(-6+■)x2-8x-3=0.
因为这是一个关于x的一元一次方程,所以-6+■=0,故■=6.
即“■”处的数字为6,故此方程为-8x-3=0.
(4)3m3-m2-m-2-2m3-m2+m-3
=3m3-m2-m-2-2m3+m2-m+3=m3-m2-2m+1.
把m=-3代入,得原式=-27-9+6+1=-29.5.1 等式与方程
【基础堂清】
1（教材变式）下列运用等式性质进行的变形中,不正确的是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　
A.若x=y,则x+a=y+a
B.若x=y,则x-b=y-b
C.若x=y,则ax=ay
D.若x=y,则=
2已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为 ( )
A.5 B.10 C.12 D.15
3（新素材）如图,已知相同物体的质量相等,①中天平保持平衡状态,则②中天平 ( )
A.能平衡
B.不能平衡,右边比左边低
C.不能平衡,左边比右边低
D.无法确定
4下列说法错误的是 ( )
A.若x=y,则xm-5=ym-5
B.若(a2+1)x=1,则x=
C.若x2=3x,则x=3
D.若-m=2,则m=-6
5根据等式的性质,a=-b可以变形为-a+x=b-y,则x与y的关系一定是 ( )
A.互为相反数 B.相等
C.积为-1 D.互为倒数
6在方程-x=5的两边都乘以　 　,求得x=　 　,这是根据　 　.
【能力日清】
7在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)如果x-2=3,那么x=　 　,理由:根据等式的性质　 　,在等式两边　 　.
(2)如果-2x=2y,那么x=　 　.理由:根据等式的性质　 　,在等式两边　 　 .
【素养提升】
8（新考法）一位同学把“等式①”按照下面的程序图做了变形:
小宇认为:等式①②③依次为2a=2b;2a-2=2b-2;12a-2=12b-2.
你觉得小宇的结论都正确吗 请简要说明理由.
参考答案
1.D　2.A　3.A　4.C　5.A
6.-　-　等式的基本性质2
7.(1)5　1　都加2
(2)-y　2　都除以-2
8.解:小宇的结论都正确.理由如下:
由于等式①两边都乘5,得10a=10b,
所以把10a=10b两边都除以5,即得等式①:2a=2b.
等式①两边都减2,得等式②:2a-2=2b-2.
把2a-2=2b-2与10a=10b的两边分别相加,得等式③:12a-2=12b-2.

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