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2024-2025学年广东省梅州市梅县区部分学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2 a3＝a6
C．（a2）3＝a5 D．（﹣ab）5÷（﹣ab）＝a4b4
2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
3．（3分）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a）
C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2）
4．（3分）“清明时节雨纷纷”这个事件是（　　）
A．不可能事件 B．必然事件
C．随机事件 D．以上说法均不对
5．（3分）如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠EAD＝∠ADC D．∠C+∠ABC＝180°
7．（3分）如果25x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．60 B．±60 C．30 D．±30
8．（3分）∠A的补角是125°，则它的余角是（　　）
A．54° B．35°
C．25° D．以上均不对
9．（3分）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β相等的情况有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．（3分）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB∥CD∥1，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，若AM∥BC，则∠MAC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．50° D．110°
二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分。
11．（3分）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为2cm的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为 　 　 cm2．
12．（3分）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河l向村庄P引水，图中有四种方案，其中沿线段PC路线开挖的水渠长最短，理由是 　 　 ．
13．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠AOC的度数为　 　 ．
14．（3分）如果2÷8x 16x＝25，则x的值为 　 　 ．
15．（3分）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝10，ab＝20，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分。
16．（8分）计算：
（1）；
（2）（运用乘法公式）1232﹣124×122．
17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y，其中x＝﹣2，y＝1．
18．（7分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏，若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问取出了多少黑球？（要求通过列式或列方程解答）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝55°，求证：AE∥CD．
20．（9分）请阅读下列材料：a3＝2，b5＝3，比较a，b的大小关系：
解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，且32＞27，
∴a15＞b15，
∴a＞b．
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质　 　 ．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方
（2）已知a＞0，b＞0，a3＝9，b2＝8，试比较a，b的大小．
21．（9分）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠ACD与∠BCE存在怎样的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝2∠ACE，则∠BCD的度数为 　 　 ；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD的度数为 　 　 时，CE∥AB．（直接在横线上写出答案）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）如图1，是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形．
【自主探究】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2ab之间的等量关系式 　 　 ．
【知识运用】（2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的关系式，计算（2x+3y）2的值；
【知识延伸】（3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值．
23．（14分）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G．
【猜想验证】（1）如图，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG为多少度？请说明理由；
【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？请画图分析并计算．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B B B B C B
二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分。
11．2.8．
12．垂线段最短．
13．40°．
14．4．
15．20．
三、解答题（一）：本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分。
16．解：（1）原式＝3+4﹣1
＝6；
（2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣1232+1
＝1．
17．解：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y
＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+4y2）÷2y
＝（﹣4xy+8y2）÷2y
＝﹣4xy÷2y+8y2÷2y
＝﹣2x+4y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣2×（﹣2）+4×1＝8．
18．解：（1）不公平．
∵不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，
∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：＝；
（2）由题意可得：设取出了x个黑球，则
13﹣x＝5+x，
解得：x＝4．
答：取出4个黑球．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（1）解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BAD的度数是 110°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD交BC于点E，∠BAD＝110°，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝55°，
∠BCD＝55°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥CD．
20．解：（1）a15＝（a3）5和b15＝（b5）3利用的是幂的乘方的逆用，
故选：C；
（2）∵a3＝9，b2＝8，
∴a6＝（a3）2＝92＝81，b6＝（b2）3＝83＝512，
∵81＜512，
∴a6＜b6，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b．
21．解：（1）∠ACD＝∠BCE，
理由如下：
∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝2α，
∵∠BCD+∠ACE＝180°，
∴2α+α＝180°，
∴α＝60°，
∴∠BCD＝2α＝120°，
故答案为：120°；
（3）分两种情况：
①如图2，
∵AB∥CE，
∴∠BCE+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCE＝120°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝360°﹣120°﹣90°＝150°；
②如图3，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
又∵∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°；
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
故答案为：150°或30°．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．解：（1）由图可知，大正方形的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）（2x+3y）2
＝（2x﹣3y）2+24xy，
∵2x﹣3y＝5，xy＝1，
∴原式＝52+24＝49；
（3）设a＝x﹣2023，b＝x﹣2025，
∴a﹣b＝2，，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4，
∵（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，
∴a2+b2＝10，10﹣2ab＝4，
∴ab＝3，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16，
∴．
23．解：（1）∠CFG＝35°．
理由：如图，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴GH∥CD，
∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠FGH，
∵∠EGH+∠FGH＝∠EGF，
∴∠AEG+∠CFG＝∠EGF，
∵∠EGF＝60°，∠AEG＝25°，
∴∠CFG＝60°﹣25°＝35°．
（2）设灯F转动t秒时，∠EGF＝90°，
∵灯E转动的速度是每秒2°，
∴∠BEG＝（2t）°，
∴∠AEG＝（180﹣2t）°，
∵当灯E射线第一次到达EA时，t＝180÷2＝90（秒），
∴0 t 90，
①如图所示，当点G在EF右边时，
∵灯F转动的速度是每秒4°，
∴∠CFG＝（4t）°，∠DFG＝（180﹣4t）°，
∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝90°，
∴2t+180﹣4t＝90，
解得t＝45，符合题意，
∴灯F转动45秒时，∠EGF＝90°．
②如图所示，当点G在EF左边时，
即当灯F射线旋转180°后返回时，
则∠CFG＝（360﹣4t）°，∠AEG＝（180﹣2t）°，
根据题意得360﹣4t+180﹣2t＝90，
∴﹣6t＝90﹣360﹣180，
∴t＝75．
∴灯F转动45秒和75秒时，∠EGF＝90°．

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