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宁江区2024-2025学年度下学期期中教学质量监测
九年级数学试题
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．将下列几何体如图放置，其主视图是三角形的是（　　）
A. B. C. D.
2．公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　）
A．-5 B．-3 C．-1.5 D.5
3．下列运算中，正确的有（　　）
①．②．③．④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
4．下列各式中，化简后与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，．按下述步骤画图：①以点为中心，将逆时针旋转，得到线段；②分别以点、点为圆心，以长为半径作弧，两弧在第一象限交于点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．根据《吉林省2024年国民经济和社会发展统计公报》，截至2024年末，吉林省总人口约为23100000人，若将23100000这个数字用科学记数法表示，可写成，其中的值为___________．
8．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为___________．
9．如图，将一副三角尺摆放在一起，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的较长直角边恰好重合．作于点，连接，则的大小为___________．
10．如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为___________．
11．一张圆心角为的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为___________．（结果保留π）
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
12．先化简，再求值：，其中．
13．在一次数学活动中，数学老师准备将全班同学随机分成甲、乙、丙三个小组，分别完成不同的任务．请你用画树状图（或列表）的方法，求龙龙和彤彤恰好分在一个小组的概率．
14．长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长1.8千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过20天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
15．如图，图①、图②、图③均由正方形网格构成，每个小正方形的边长都为1．点均在格点上，在下图中，只用无刻度的直尺画图，适当保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中，画出一条射线，点在格点上，且．
（2）在图②中，在内部画出射线，点在格点上，且．
（3）在图③中，在外部画出射线，点在格点上，且．
16．如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将的水加热到，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温与水壶启动后用时（分）成反比例关系．据研究，当水温降至时，比较适宜饮用．
（1）求降温过程中的水温与水壶启动后用时（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围．
（2）一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？
17．如图，某数学活动小组为测吉林广播电视塔的高度，在处测得最高点的仰角为，在处测得最高点的仰角为，点在同一条直线上．间的距离为米．
（1）试用含的代数式来表示吉林广播电视塔的高度．
（2）若．求的值．（精确到1米）
【参考数据：，
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
18．为了解学生体质状况，某校面向七年级的700名学生开展了一次体能测试，满分为10分．测试后，随机抽取了一个班的成绩作为样本，并将数据初步整理如下表：
分数 5 6 7 8 9 10
人数 7 9 12 8 3 1
（1）从表中的数据来看，抽取样本的容量是___________．
（2）求样本的平均数．
（3）学校决定利用第二课堂的时间对成绩低于7分的学生开展体能强化训练．若每位体育老师最多能带领50名学生开展训练，请计算至少需要派出几位体育老师．
19．定义：如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的指距是身高的一次函数．
【收集数据】经过分组调查，得到下表中的一些测量数据（部分数据不完整）：
指距 20 20.5 21 21.5 22
身高（平均值） 160 164.5 169 178
【关系探究】利用上表中的数据，求与之间的函数关系式．
（不要求写出自变量的取值范围）
【数据推测】根据表中的数据及探究的结论，推测上表中的值为___________．
【估算应用】吉林省篮球名宿孙军的身高约为，估算他的指距是多少？
（结果精确到）
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
20．【方法感知】如图①，在正方形中，相交于点为上一点，以为斜边，向上作等腰，连接．求证：．解题思路：如图①，作，可证与相似，根据相似比可得点为中点，故为的垂直平分线，则．（无需证明）
【方法迁移】如图②，在正方形中，相交于点为上一点，以为斜边，向左作等腰，连接．
判断：【方法感知】中的结论“”是否仍成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
【结论应用】如图③，在正方形中，为上一点，以为斜边，向左作等腰Rt，连接．
直接写出：与之和的最小值为___________．
21．如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为．
（1）直接写出线段长．（用含的代数式表示）
（2）求当点落在线段上时的值．
（3）设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式．
七、解答题
22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中是常数）经过点和，抛物线顶点为．点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧．点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以为邻边构造矩形（如图①）．设点的横坐标为．
（1）求抛物线函数表达式和顶点的坐标；
（2）如图②，当顶点在矩形的边上时，求的长；
（3）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围．
（4）连结，当与互余时，直接写出的值.
2024-2025学年度下学期期中教学质量监测
九年级数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．C2．B3．A4．C5．B6．D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.7
8．
9.105
10.5
11．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
12．原式
将代入，原式．
13．树状图如下（列表略）：
（龙龙和彤彤被分到同一个小组）．
14．设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米．
根据题意，得
解得
答：甲组平均每天开凿46米，乙组平均每天开凿44米．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
15．如下图所示：（本题满分7分；每个图画对得2分，全对得满分7分；不标字母或标错字母不扣分）
16．（1）设与的函数关系式为
依题，将代入，
得．
故
（2）当时，．
．
故一壶水烧开后经过9分钟适宜饮用．
17．（1）．
在Rt中，．
．
在Rt中，．
．
（2）当时，（米）
答：吉林广播电视塔的高度约为218米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
18．（1）40．
（2）（分）．
（3）（人）．
．故至少需要派出6位体育老师．
19．【关系探究】设与之间的函数关系式为：．
将，分别代入上式得，
解得．
即．
【数据推测】173.5．
【估算应用】将代入中，
得
即，孙军的指距约为．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
20．【方法迁移】“”仍成立．证明如下：
作交于点，则．
在正方形中，为对角线，
故．
又为以为斜边的等腰，
．
．
．
．
．
．
即点为中点．又．
为的垂直平分线，．
【结论应用】．
21．（1）当时，．
当时，．
（2）当点落在线段上时，．
（3）当时，
当时，
当时，
七、解答题
22．解：（1）将、代入得
解得
即
．
（2）当点落在边上时
令
解得（舍），
．
（3）①若，
当点在抛物线上时，
则
解得（舍）；
当点为抛物线与轴左侧交点时，重合，矩形不存在；
令
解得（舍）；
②若，
当点为抛物线与轴交点时，重合，矩形不存在，此时；
综上，或．
（4）或．

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