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北师大新版九年级下册《第3章圆》 2 单元测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，AB是的直径，EF、EB是的弦，且，EF与AB交于点O，连接OF，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
2.在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，4为半径的圆( )
A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离
3.如图，四边形ABCD是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧AC的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则( )
A. 8
B. 5
C. 3
D. 2
5.如图，AB是的弦，AC是的切线，A为切点，BC经过圆心．若，则的大小等于( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若的半径为2，，则线段OM的最小值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，A是半径为2的外的一点，，AB切于点B，弦，连接AC，则图中阴影部分的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( )
A. 3m
B. 5m
C. 7m
D. 9m
10.如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为( )
A. 10平方米 B. 平方米 C. 100平方米 D. 平方米
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.边长为4的正三角形的内切圆半径为______.
12.的三边长分别为6，8，10，则此三角形的内心与外心的距离为______.
13.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______.
14.如图，是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧上异于E、H的点．若，则______.
15.如图，正六边形ABCDEF内接于，边长，则扇形AOB的面积为______.
16.如图，A，B，C，D是上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，，，那么的度数是______.
17.如图，将一块含角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径，则图中阴影部分的面积为______结果保留
18.如图，菱形ABCD，，，内切于菱形ABCD，则的半径为______.
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
已知：三角形ABC内接于，过点A作直线
如图，AB为直径，要使得EF是的切线，只需保证______，并证明之；
如图，AB为非直径的弦，中你所添出的条件仍成立的话，EF还是的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流．
20.本小题12分
中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形如图经测量，桥拱下的水面距拱顶6 m时，水面宽，已知桥拱跨度是3，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高运算时取，
21.本小题12分
如图，在圆O中，弦，点C在圆O上与A，B不重合，连接CA、CB，过点O分别作，，垂足分别是点D、
求线段DE的长；
点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
22.本小题12分
如图，等腰三角形ABC内接于，，过点A作，交于点E，过点C作的切线交AE的延长线于点D，已知，
求证：四边形ABCD为平行四边形．
求的直径长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，连接BF，
，，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解法二：，
，
，
，
，
，
，
故选：
如图，连接BF，证明≌，推出，由，推出，，由，推出，根据三角形内角和定理构建方程求出即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】C
【解析】解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
，，
圆与x轴相切，与y轴相交，
故选
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，连接OC，
，，
，
，
的长，
故选：
如图，连接OC，利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是记住弧长公式
4.【答案】A
【解析】解：，AB是直径，
，
在中，，
，
故选：
根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，
是的切线，
，
，
，
，
故选：
连接OA，根据切线的性质，即可求得的度数．
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为的中位线，则，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为
【解答】
解：设OP与交于点N，连结MN，OQ，如图，
，，
是OP的中点，
为PQ的中点，
为的中位线，
，
点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上，O与N之间时，OM最小，最小值为1，
线段OM的最小值为
故选
7.【答案】A
【解析】解：六边形ABCDEF是正六边形，
，
是等边三角形，，
设点G为AB与的切点，连接OG，则，
，
故选
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以，故是等边三角形，，设点G为AB与的切点，连接OG，则，，再根据，进而可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：延长CB，做，交于一点D，
与同底等高面积相等，
图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积，
是半径为2的外的一点，，AB切于点B
，
，
，
弦，
，
是等边三角形，
图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：
故选：
根据三角形面积求法，得出与同底等高面积相等，再利用切线的性质得出，利用扇形面积求出即可．
此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出与面积相等以及是解决问题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：连接OA，交半圆O于E点，
在中，，，
所以；
又，
所以
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选：
为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为，，所以根据勾股定理得那么AE的长即可解答．
此题考查了勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
10.【答案】D
【解析】解：过O作于C，连OA，如图，
，而，
，
与小圆相切，
为小圆的半径，
圆环的面积
平方米
故选：
过O作于C，连OA，根据垂径定理得到，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积，即可圆环的面积．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
11.【答案】
【解析】解：如图，
设O为等边的内心也是等边的外心，连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，
则，，
即OD是内切圆的半径，
，
，
为等边内切圆的圆心，
，
在中，，
正三角形的内切圆半径是，
故答案为：
根据O为等边的内心也是等边的外心，连接OA、OC、OB，设AO交BC于D，则，，即OD是内切圆的半径，求出，然后根据含30度角的直角三角形性质即可解决问题．
本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆与内心、含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用等知识，掌握正三角形内心概念是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，圆O是的内切圆，切点分别为D，E，N，M为AB的中点，
，，，
，
，
点M是的外心，
设的内切圆的半径为r，则，
，
，，，
，
解得，
，
在中，，
，
直角三角形的外心是斜边的中点，
此三角形的内心与外心的距离为
故答案为：
由三角形三边关系确定它是直角三角形，根据直角三角形的特殊性，外心是斜边的中点，进而根据勾股定理即可解决问题．
此题考查了三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质，解决本题的关键是掌握内心和外心的定义．
13.【答案】
【解析】解：连接OD，
，
，
，
，
故答案为：
首先连接OD，由圆周角定理可求得的度数，的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接OE，OH，
是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，
，
又，
，
又和分别是所对的圆周角和圆心角，
故答案为：
连接OE，OH，由已知的是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，根据切线的性质得到，再
由已知的的度数，根据四边形的内角和为360度，求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可求出的度数．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和定理，在做有关圆的切线问题时，我们常常需要连接圆心和切点，利用切线的性质得到直角来解决问题．
15.【答案】
【解析】解：正六边形ABCDEF内接于，
，
，
是等边三角形，
，
扇形AOB的面积，
故答案为：
根据已知条件得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
16.【答案】
【解析】解：连接OB，
，，
，
，
点B是的中点，
，
，
，
故答案为：
连接OB，先利用三角形的外角性质求出，然后利用圆周角定理可得，再根据已知可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：斜边与半圆相切，点B是切点，
又，
，，
，
，
故答案是：
图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积的面积，即可求解．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算．此题利用了“分割法”求得阴影部分的面积．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作辅助线，构建直角，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．
【解答】
解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则，，
内切于菱形ABCD，
，
平分，
，
，
同理得，
，
，，
，
，
，
故答案为：
19.【答案】ABC
【解析】保证；
证明：为直径，
若
，
即，
为的切线．
还是的切线．
证明：连接AO并延长交于点D，连接CD，如图，
为的直径，
，
，
即
所以EF为的切线．
要使EF是的切线，必须，即与互余．而与互余的另一个角ABC就是我们要找的角．
把一般情况转化为特殊情况，即的情形，所以过A作直径．证明的方法和前面一样．
熟练掌握切线的判定定理．把证明切线的问题转化为证明线段垂直的问题．在解决数学问题中，要学会运用特殊情形解决一般情形．
20.【答案】解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，
，，
在中，，
，
，
在中，
拱高
【解析】设圆的半径是根据垂径定理和勾股定理列方程进行求解．
注意：圆中常见的辅助线即作弦的弦心距构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理进行计算．
21.【答案】解：经过圆心O，，
，
同理：，
是的中位线，
，
，
过点O作，垂足为点H，，连接OA，
经过圆心O，
，
，
，
在中，，
，即圆O的半径为
【解析】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．
由知，同理得出，从而知，据此可得答案；
作于点H，连接OA，根据题意得出，，利用勾股定理可得答案．
22.【答案】证明：延长CO交AB于H，如图，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
四边形ABCD为平行四边形；
解：连接OA，如图，
，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
设的半径为r，则，，
在中，，解得，
的直径长度为
【解析】延长CO交AB于H，如图，利用垂径定理得到，再根据切线的性质得到，所以，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
连接OA，如图，由得到，则可证明，利用圆心角、弧、弦的关系得，利用勾股定理计算出CH，设的半径为r，则，，利用勾股定理得到，解方程求出r，从而得到的直径长度．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定．证明是解决小题的关键．

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