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数学
时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围.
【详解】因，所以，所以.
故选：C
2 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.
【详解】对于，由于在单调递增，所以，
对于，由于单调递减，故.
所以.
故选：D
3. 已知函数.则为（ ）
A. 偶函数且为增函数 B. 偶函数且为减函数
C. 奇函数且为增函数 D. 奇函数且为减函数
【答案】C
【解析】
【分析】先检验与的关系，判断奇偶性，然后对求导，判断的正负性，从而得到函数的单调性.
【详解】由题意得，定义域为，
则，
则函数为奇函数；
，
因为，且对成立，故，即函数为增函数，
综上，函数为奇函数且为增函数.
故选：C.
4. 已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A. 34 B. 32 C. 30 D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项的性质得，结合已知得，再根据等比数列的公式求基本量，再由前n项和的公式得到结果.
【详解】数列为正数项的等比数列，根据等比数列的性质得，
由，则，
根据等比数列的公式得，
所以
故选：C
5. 若（i为虚数单位，），则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等，可得，即可根据不等式求解.
【详解】由可得，
所以且，
故，当且仅当时取到等号，
故选：B
6. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可．
【详解】由题可知，，
当时，，
因为函数在上有两个零点，
所以，解得，
故选：A．
7. 我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解.
【详解】
已知，
因为动点符合，
所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍，
即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，
所以，
所以1，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，
令，即，
令直线的方程为，
要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值，
又点到直线的距离为，
平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径，
即，即，解得或，
当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1，
即 ，即，即，解得，
综上所述，可得，即，
所以，即，
故选：A.
8. 在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合已知，引入来表达，且据勾股定理可求出，则在和中，分别用正弦定理可表达，即可表达面积，从而分析最值.
【详解】设，
，
，
，
在中，，即，
，
同理，在中，，
的边长，
其中，
时，取得最大值为，
.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 两个随机变量线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 若一组样本数据的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中
【答案】AB
【解析】
【分析】据相关系数的含义可判断A；据中位数的含义及判断方法可判断B；正正态分布的概率求解可判断C；由方差的含义判断D.
【详解】A选项：两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1，相关系数的绝对值越接近于0，相关性越弱，A选项正确；
B选项：12，14，15，17，19，19，20，21，这组数据共有8个，且已按照从小到大顺序排序，中位数为第4个和第5个数的平均数，即中位数为18，由题意，原数据有9个，中位数恰为这9个数据从小到大排序后得第5个数，且该数为18，B选项正确；
C选项：，则，且，则，C选项错误；
D选项：由方差的含义，可知，
则，
设8是这组数据中的数，则，即该组数据中其余9组的平方和为负数，不可能，8不在数据中，D选项错误.
故选：.
10. 已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由得，设，根据平面向量夹角公式表示出，设求得即可求解．
【详解】由得，，设，
，
，
则，
设，则，
则，
所以，即，
故选：AB．
11. 已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（ ）
A. 拋物线C的方程为：
B. 若三点共线，则点横坐标为
C. 若三点共线，且倾斜角为，则的面积是
D. 若点，且三点共线，则的最小值是9
【答案】AD
【解析】
【分析】A先求出点坐标，再将其代入抛物线方程中；B先设直线得出韦达定理，再利用点坐标设切线方程并与抛物线方程联立，利用求出切线方程，即可求出点的坐标；C利用弦长公式求出，再计算点到直线的距离即可求；D设直线方程，再利用弦长公式求出的长度，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】对于A，因为，且在圆上，所以由对称性不妨设，
又因为点在抛物线上，所以，
因此抛物线方程，故A正确；
对于B，设，且过的直线方程
联立，得，则，
设在点处的切线方程为，
与联立得，，
因，则，
则在点处的切线方程为，
同理在点处的切线方程，
所以联立，并结合，
解得，所以点，
所以点的横坐标为，即，故B错误；
对于C，因为过的直线方程的倾斜角，所以，
联立，得，则，
所以，
又由B 选项可知，，所以点到直线的距离是，
所以，故C错误；
对于D，设过的直线方程
联立，得，则，
又因为，同理，，
且，
所以
，
等号成立的条件为，即，即，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式的展开式中的常数项为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】展开式的通项公式为，
由，得，
即常数项为．
故答案为：
13. 设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论，当时，，再讨论的范围得出；当时，讨论的范围，由导数求得，即可求解．
【详解】①当时，，对称轴为，
当时，，则；
当时，，符合题意；
所以当时，若在上恒成立，则；
②当时，，则，
当时，，则在上单调递增，当时，，不合题意；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，解得，
所以当时，若在上恒成立，则；
综上所述，，
故答案为：．
14. 我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据外接球的性质，结合勾股定理可得刍童的高，进而根据所给的计算方法即可求解体积.
【详解】取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接,
由于，所以,
所以,
故，
因此
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果；
（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
【小问2详解】
，
，
数列的前项和为.
16. 如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）求直线CE与平面PEF所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在图1中，连接，交于点，连接，即可证明四边形是菱形，从而得到，即可得到，从而证明平面，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
图1中，连接，交于点，连接，
为AB中点，，
又，，四边形是菱形， ，
所以在图2中，，又平面，，
平面，
又平面，；
【小问2详解】
以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，
所以，，，
设平面的法向量，
由，有，，
令，则，
设与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为；
17. 在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率．
（1）求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001）
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20
不想去冰上赛区
合计 60 60
附：
0.050 0.010 0.001
3.941 6.635 10.828
（3）滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望．
【答案】（1），平均值为：，中位数为：
（2）列联表见解析，有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出a，b，进而能估计这120名候选人成绩的平均数和中位数；
（2）补全列联表，求出，从而有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关；
（3）男生被抽中的人数可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此求出的分布列及期望．
【小问1详解】
由题意：.
又.
解得，
估计这120名候选人成绩的平均数为：，
设中位数为：，
解得中位数.
【小问2详解】
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关
【小问3详解】
男生被抽中的人数可能取值为2，3，4.
.
的分布列为：
2 3 4
.
18. 已知函数为的导函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若的两个极值点分别为和，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可；
（2）（i）由题意得是方程的两个正根，进一步转化为与有两个不同的交点，然后利用导数求出的单调区间和极值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，则可得，令，利用导数求出其单调区间和最值，从而可证得结论.
【小问1详解】
当时，，则，
，求导得，则，
所以曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
（i），且定义域.
因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根，
即
令，则，
所以，当时，；当时，，
因此，当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，有最小值，
当时，，
又因为当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以当时，的图象与直线有两个不同的交点，
所以；
（ii）由（i）可知，且时，，
又，所以，
令，
单调递增，
且，所以时，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
即 ，
又因为，所以，
所以，即.
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若经过点且倾斜角为）的直线与椭圆交于M，N两点（其中点在轴上方）如图①.将平面xOy沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②.
（i）当直线的倾斜角为时，求折叠后图②中的长度；
（ii）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比是3:4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）存在，直线的方程为：
【解析】
【分析】（1）由离心率为得，则，将点代入，计算解得，即可得解；
（2）（i）求出直线方程为：，再联立椭圆方程，解出两点坐标，根据两点距离公式即可求解；（ii）由三角形周长求得，设直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，求得，建空间直角坐标系后，可得，求得，即可求得的值，求得直线的方程.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
椭圆方程为：
又因为点在椭圆上，带入得：
所以，
椭圆方程：.
【小问2详解】
（i）折叠前可知，所以直线方程为：
因为直线与椭圆交于M，N两点，所以，
解得或，
又因为点在轴上方，所以
折叠后，建立空间直角坐标系：以为轴，以轴的负半轴反方向为y轴，
以折后轴的正半轴为轴，可得：
所以
（ii）折叠前的周长为，
折叠后的周长为，
在图①中，设，直线的方程为，
联立，得，
，
，
建空间直角坐标系后，可得，
又因为，
所以
整理得：
所以，因此，又倾斜角为锐角，
所以存在直线，直线方程为：数学
时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数.则为（ ）
A. 偶函数且为增函数 B. 偶函数且为减函数
C. 奇函数且为增函数 D. 奇函数且为减函数
4. 已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A. 34 B. 32 C. 30 D. 28
5. 若（i为虚数单位，），则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 若一组样本数据的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中
10. 已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（ ）
A. 拋物线C的方程为：
B. 若三点共线，则点横坐标为
C. 若三点共线，且倾斜角为，则面积是
D. 若点，且三点共线，则的最小值是9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式展开式中的常数项为______．
13. 设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
14. 我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
16. 如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）求直线CE与平面PEF所成角的正弦值.
17. 在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率．
（1）求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；
（2）已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001）
志愿者 性别 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20
不想去冰上赛区
合计 60 60
附：
0050 0.010 0.001
3.941 6.635 10.828
（3）滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望．
18. 已知函数为的导函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若的两个极值点分别为和，且.
（i）求实数取值范围；
（ii）证明：．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若经过点且倾斜角为）的直线与椭圆交于M，N两点（其中点在轴上方）如图①.将平面xOy沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②.
（i）当直线的倾斜角为时，求折叠后图②中的长度；
（ii）是否存在直线，使得折叠后周长与折叠前的周长之比是3:4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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