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2025年普通高等学校招生第二次模拟考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．答题时长120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形码．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题，的否定是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 设向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（ ）
A. 38 B. 51 C. 66 D. 83
7. 已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，已知，则在犯错误不超过的前提下，认为与相关
B. 已知随机变量，若，，则
C. 掷一枚质地均匀的骰子两次．事件“第一次向上的点数是1”，事件“两次向上的点数之和是7”，则事件与事件相互独立
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则一定是9
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数图象关于点对称
C. 若函数在上单调递增，则的取值范围为
D. 若，则最小正周期为
11. 已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B.
C. 当为奇数时， D. 当为偶数时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，为实数，则______．
13. 请写出一个同时满足以下3个条件的函数______．
①、，且，都有；②且，使得；③．
14. 已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明．
15. 烧麦——在呼和浩特有着深厚的历史底蕴，2024年12月21日，呼和浩特举办了“首届烧麦美食大会”，活动持续至2025年1月3日，期间吸引了数以万计的国内外游客慕名而来．“烧麦美食大会”的举办旨在传承和弘扬烧麦文化，深入挖掘呼和浩特市的文旅资源优势，推动烧麦产业创新与发展，促进文商旅融合，提升城市形象．为了了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式，随机调查了100名游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分）分成了五段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，为进一步了解游客对本次“烧麦美食大会”满意度情况，从分值在，，三组满意度问卷中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记满意度得分在人数为，求的分布列和期望；
（2）已知满意度分值在平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
16. 已知抛物线过点．其焦点为，若且．
（1）求值以及抛物线的方程；
（2）过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于与四点，求四边形面积的最小值．
17. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角；
（2）若面积为3，点为内一点，且，求的值．
18. 如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值．
19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
（1）根据牛顿迭代法，求；
（2）求与的关系式；
（3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．2025年普通高等学校招生第二次模拟考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．答题时长120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形码．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解集合，再求出集合在中的补集，最后求出集合与的交集.
【详解】已知，因为，所以.
根据指数函数的单调性，对于指数函数，函数在上单调递增.
那么由可得，即，所以.
已知，，所以.
故选：D.
2. 命题，的否定是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由含有全称量词命题的否定定义可得答案.
【详解】，的否定是，.
故选：A
3. 设向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示，及数量积、模长的坐标表示逐项判断.
【详解】对于A，由坐标易知不成立，错误；
对于B：，错误；
对于C：，正确，
对于D：，所以，错误，
故选：C
4. 一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由轴截面为等腰直角三角形求解圆锥高，即可求解.
【详解】由圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，
易知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的高为1，
所以圆锥的体积为：，
故选：A
5. 如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【详解】根据题意可知在梯形中，；
当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为；
当时，阴影部分等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为；
当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即；
所以可得；
根据函数类型对比图象可得A正确.
故选：A
6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（ ）
A. 38 B. 51 C. 66 D. 83
【答案】B
【解析】
【分析】由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解.
【详解】由，
，
，
，可知：
，即
，即
，即，
即第8项是，
故选：B
7. 已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得函数在上单调递减，由在恒成立可得恒成立，据此可得答案.
【详解】因函数在上单调，又在上单调递减，
则函数在上单调递减，则.
则时，，又，
则恒成立，
则.
故选：B
8. 若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】点在圆上，由题意分析可知对称点必是圆与圆的公共点，通过计算，即可得出答案.
【详解】因点的坐标满足，则点在圆上，
因直线过的圆心，
则点关于直线对称的点必然在圆上，
联立，得，
因圆与圆仅有唯一公共点，
因此点关于直线对称的点只能是点，
设直线与线段交于点，
因，，
则由垂径定理可得，，
则在中，，
因此.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，已知，则在犯错误不超过的前提下，认为与相关
B. 已知随机变量，若，，则
C. 掷一枚质地均匀的骰子两次．事件“第一次向上的点数是1”，事件“两次向上的点数之和是7”，则事件与事件相互独立
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则一定是9
【答案】BC
【解析】
【分析】由独立性检验基本思想可判断A，由二项分布期望、方差公式可判断B，由独立事件概率乘法公式可判断C，由回归直线与散点关系可判断D.
【详解】对于A：由，可知A错；
对于B，由，可得，进而得，B正确；
对于C，易知，，
，
得成立，故C正确；
对于D，由回归方程，无法确定散点的坐标，故D错，
故选：BC
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点对称
C. 若函数在上单调递增，则的取值范围为
D. 若，则的最小正周期为
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过三角恒等变换将化为，根据正弦函数的性质依次判断各个选项的正误即可.
【详解】
，
对于A，值域，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，在上单调递增，所以，解得，所以.故C正确；
对于D，因为的最小正周期都是，
所以的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B.
C. 当为奇数时， D. 当为偶数时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用数列的递推关系式以及，根据等比数列定义即可判断A正确，利用等比数列前项和公式计算可得B正确，由的通项公式可得，对为奇数或偶数时进行分组计算可判断C错误，D正确.
【详解】对于A，由，可得：
，
即，又，
可得数列是以为首项，公比为的等比数列，可得A正确；
对于B，由选项A分析可知，，即B正确；
对于C，易知，所以；
当为奇数时，
，可知C错误；
对于D，当为偶数时，
，可得D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明数列是等比数列后求得其通项公式，得出数列的递推公式，进而得出前项的积的表达式即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，为实数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设出复数，再由纯虚数定义以及实数定义可求得，；可得出.
【详解】设，
由题可知为纯虚数，即，解得；
又为实数，可得，即，
因此，所以.
故答案：
13. 请写出一个同时满足以下3个条件的函数______．
①、，且，都有；②且，使得；③．
【答案】（答案不唯一，符合题意均可得分）
【解析】
【分析】根据三个条件分别得出函数所具有的性质，例如单调性、奇偶性等即可写出结果.
【详解】由条件①可得在上单调递增，
对于条件②不妨取，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算；
由条件③可知函数为奇函数；
因此可得满足题意.
故答案为：
14. 已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆与抛物线准线相切求出的值，进而得到椭圆的右焦点坐标，再结合的面积求出交点的纵坐标，代入抛物线方程求出横坐标，最后将交点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的性质求出离心率．
【详解】抛物线的准线方程为．
已知圆与抛物线的准线相切，则圆心到准线的距离等于圆的半径，即，解得或（舍去）．
因为抛物线的焦点坐标为，把代入可得焦点坐标为，又因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以椭圆的右焦点，则（为椭圆的半焦距）．
设，因为的面积为，且，根据三角形面积公式，可得，即，解得．
把代入抛物线方程，可得，即，解得．
因为点在椭圆上，所以，又因为，代入上式可得：
设（），则，通分可得：，即
解得（舍去）或，即，则．
根据椭圆的离心率公式，可得．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明．
15. 烧麦——在呼和浩特有着深厚的历史底蕴，2024年12月21日，呼和浩特举办了“首届烧麦美食大会”，活动持续至2025年1月3日，期间吸引了数以万计的国内外游客慕名而来．“烧麦美食大会”的举办旨在传承和弘扬烧麦文化，深入挖掘呼和浩特市的文旅资源优势，推动烧麦产业创新与发展，促进文商旅融合，提升城市形象．为了了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式，随机调查了100名游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分）分成了五段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，为进一步了解游客对本次“烧麦美食大会”满意度情况，从分值在，，三组满意度问卷中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记满意度得分在人数为，求的分布列和期望；
（2）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）84，30
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样比确定得分在人数为的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率即可求得分布列和期望值；
（2）利用样本方差求总体方差公式代入计算即可求得结果.
【小问1详解】
由，解得；
由题可知，调查问卷考核得分分值在三组内的游客人数比为，
则需在内的游客中分别抽取人，人，人．
现从这6人中随机抽取3人，则考核得分在人数为的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
所以的分布列为
0 1 2 3
所以．
【小问2详解】
满意度分值在的频率为，人数为20；
在的颣率为，人数为30，
满意度分值在的平均数，方差，
在的平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差.
16. 已知抛物线过点．其焦点为，若且．
（1）求的值以及抛物线的方程；
（2）过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于与四点，求四边形面积的最小值．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】（1）利用焦半径公式以及抛物线过的点坐标解方程组可得结果；
（2）设出两直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得的表达式，进而得出面积表达式，再由基本不等式计算可得面积最小值.
【小问1详解】
因为抛物线：过点
①
又焦点为，且②
由①、②可得或
又，
抛物线的方程：
【小问2详解】
由题知，过点两条相互垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：
因此设直线，直线
设点、、、，
联立直线与抛物线的方程，得
则有，
又，
同理，联立直线与抛物线的方程，得
则有，
又，
又
，
当且仅当时，
四边形面积的最小值是8.
17. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角；
（2）若的面积为3，点为内一点，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用余弦定理，再用正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式变形后可求得，从而得角；
（2）先根据，利用三角形的面积公式得到，再运用数量积的定义求解即得答案.
【小问1详解】
的内角、、所对的边分别为、、，
且，
．
，，，，
又，．
【小问2详解】
，
，
．
18. 如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直的判定定理即可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系, 求和平面的法向量，再根据线面角公式计算即可；
（3）设，求向量，，根据线线角的公式得，再由换元法计算即可.
【小问1详解】
，，，
，，
又，，
，
，
,
又，
平面平面，且平面平面，又，
平面，平面，平面，，
平面，
平面，
平面，
平面平面
【小问2详解】
平面,
建立如图所示空间直角坐标系,
，，，，，，
，，,
设平面的法向量为，则，取，,
设直线与平面所成的角为，
则.
【小问3详解】
设，其中，
则，，，
所以，
令，则，
所以，
当时，单调递增，
故在时，取最大值，此时.
19. 17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
（1）根据牛顿迭代法，求；
（2）求与的关系式；
（3）牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得；
（2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式；
（3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论.
【小问1详解】
，，，
当时，，，
因此切线，
当时，可得；
【小问2详解】
当切点为时切线方程为：.
当时，可得：
，
即；
【小问3详解】
证明：由（1）知，函数在处的切线方程为.
①先证：当的图象恒在切线的上方，
即当时，，即.
令，则，
易知，令，
可得，易知，
单调递减，在单调递增，
又，，，
存在使得，
在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，
当时，，即，即.
②下证：.
即，即
令，
则，则在单调递减，在单调递增，
又，
显然当时，恒成立，即恒成立，
由①②可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论.

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