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第1练　函数的概念及其表示（原卷版）
一、单项选择题
1．如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是(　　)
2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A．(1，4) B．(1，4]
C．[－4，1) D．(－4，1)
3．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　)
A．[－2，2] B．[－2，4]
C．[－4，4] D．[－8，8]
4．已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
6．已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
7．(2025·广东八校联考)已知函数f(x)满足f＝f(x)－f(y)，f＝－1，则下列结论中正确的是(　　)
A．f＝－2 B．f(2)＝0
C．f(4)＝1 D．f(8)＝2
8．(2025·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(　　)
A． x∈R，[2x]＝2[x]
B． x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1
C． x∈R，[2x]＝2[x]
D． x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是(　　)
A．式子y＝＋可表示自变量为x，因变量为y的函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
D．y＝·与y＝是同一个函数
10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
11．具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝－x3＋
三、填空题
12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
13．已知函数f(x)＝则不等式f(x)14．已知函数f(x)满足f＋2f＝3x，则f(－2)＝________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－1))；
(2)若f(a)＝3，求a的值；
(3)若函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，请画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围(不需要证明)．
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f的值．
第1练　函数的概念及其表示（解析版）
一、单项选择题
1．如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是(　　)
答案：D
解析：从A到B的函数为对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应．对于A，A中的元素4与9在B中有两个元素和它对应，故A不符合题意；对于B，C，A中的元素0在B中没有元素和它对应，故B，C不符合题意．故选D.
2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A．(1，4) B．(1，4]
C．[－4，1) D．(－4，1)
答案：C
解析：因为函数y＝的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故选C.
3．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　)
A．[－2，2] B．[－2，4]
C．[－4，4] D．[－8，8]
答案：C
解析：因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]．故选C.
4．已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
答案：B
解析：因为f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
答案：B
解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得解得所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
6．已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
答案：B
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－37．(2025·广东八校联考)已知函数f(x)满足f＝f(x)－f(y)，f＝－1，则下列结论中正确的是(　　)
A．f＝－2 B．f(2)＝0
C．f(4)＝1 D．f(8)＝2
答案：A
解析：令y＝1，得f(1)＝0；令x＝1，y＝2，得f＝f(1)－f(2)＝－1，所以f(2)＝1；令x＝2，y＝4，得f＝f(2)－f(4)＝－1，所以f(4)＝2；令x＝4，y＝8，得f＝f(4)－f(8)＝－1，所以f(8)＝3；令x＝1，y＝4，得f＝f(1)－f(4)＝－2.故选A.
8．(2025·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(　　)
A． x∈R，[2x]＝2[x]
B． x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1
C． x∈R，[2x]＝2[x]
D． x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
答案：C
解析：当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x[x]＋[y]，故D为假命题．
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是(　　)
A．式子y＝＋可表示自变量为x，因变量为y的函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
D．y＝·与y＝是同一个函数
答案：BCD
解析：对于A，由y＝＋，得解集为 ，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误；对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，所以f＝0，所以f＝f(0)＝1，故C正确；对于D，因为y＝·与y＝的定义域都为[－1，1]，且·＝，所以是同一个函数，故D正确．故选BCD.
10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
答案：ABD
解析：若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故选ABD.
11．具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝－x3＋
答案：ACD
解析：对于A，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于B，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于C，f＝＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于D，f＝－＋x3＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选ACD.
三、填空题
12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
答案：1　2
解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))，∴满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.
13．已知函数f(x)＝则不等式f(x)答案：
解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当01时，x＋1>2，f(x)14．已知函数f(x)满足f＋2f＝3x，则f(－2)＝________．
答案：－
解析：由题意可得解得令2＋＝－2，可得x＝－，则f(－2)＝3×＝－.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－1))；
(2)若f(a)＝3，求a的值；
(3)若函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，请画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围(不需要证明)．
解：(1)f(f(－1))＝f(3)＝3.
(2)当a>0时，f(a)＝3 a＝3；
当a≤0时，f(a)＝3 －a(a＋4)＝3 a2＋4a＋3＝0 a＝－1或a＝－3，
所以a＝－3，－1或3.
(3)函数图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，只需016．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f的值．
解：(1)∵f(x)＝＝1－，
∴f(2)＝1－＝，f＝1－＝.
f(3)＝1－＝，f＝1－＝.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.
证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2025)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f＝2024.
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