资源简介

数学
第2练　函数的单调性与最值（原卷版）
一、单项选择题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是单调函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2＋x
C．y＝x＋ D．y＝|x－1|
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
4．(2025·福建厦门模拟)已知函数f(x)＝，若0A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
5．(2025·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，3] B．(2，3)
C．(2，3] D．[3，＋∞)
6．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
7．已知函数f(x)＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，3)
B．(－∞，－2)∪(0，3]
C．(－∞，－2)∪(0，10)
D．(－∞，－2)∪(0，10]
8．(2024·湖南长沙模拟)设f(x)＝(a∈R)，记f(x)在上的最大值为M(a)，则M(a)的最小值为(　　)
A．0 B.
C. D．2
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
10．已知函数f(x)满足f＝，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为{x|x≠－1}
B．f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
D．不等式f(x)＞2的解集为(－1，0)
11．一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是(　　)
A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2
B．函数f(x)＝1＋存在“跟随区间”
C．若函数f(x)＝m－存在“跟随区间”，则m∈
D．二次函数f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”
三、填空题
12．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
13．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
14．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1，2]上的最值．
16．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f(a)f(b)＝f(a＋b)．当x<0时，f(x)>1，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值，并证明当x>0时，0(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(2)＝，求不等式f(5t2－6t)>的解集．
第2练　函数的单调性与最值（解析版）
一、单项选择题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是单调函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2＋x
C．y＝x＋ D．y＝|x－1|
答案：D
解析：由一次函数的性质可知，y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y＝x2＋x在区间(0，＋∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y＝x＋在区间(0，＋∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y＝|x－1|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故选D.
2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
答案：A
解析：易知f(x)在上是减函数，所以f(x)在上的最大值为f(－2)＝.
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
答案：D
解析：∵函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，∴0≤2x－1＜，解得≤x＜.故选D.
4．(2025·福建厦门模拟)已知函数f(x)＝，若0A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
答案：C
解析：设g(x)＝＝＝(05．(2025·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，3] B．(2，3)
C．(2，3] D．[3，＋∞)
答案：C
解析：∵f(x)＝＝＝2＋，又由x2＋1≥1，得0＜≤1，∴2＜2＋≤3，∴f(x)的值域为(2，3]．
6．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案：B
解析：因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，又x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，所以f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.
7．已知函数f(x)＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，3)
B．(－∞，－2)∪(0，3]
C．(－∞，－2)∪(0，10)
D．(－∞，－2)∪(0，10]
答案：B
解析：因为函数f(x)＝在[－10，－3]上单调递增，所以a(2＋a)＞0，且30＋ax≥0在[－10，－3]上恒成立，所以解得a＜－2或0＜a≤3.故选B.
8．(2024·湖南长沙模拟)设f(x)＝(a∈R)，记f(x)在上的最大值为M(a)，则M(a)的最小值为(　　)
A．0 B.
C. D．2
答案：B
解析：设g(x)＝x＋－a，x∈，则g(x)在上单调递减，在[1，4]上单调递增，g＝－a，g(1)＝2－a，g(4)＝－a，所以M(a)是，|2－a|，三者中的较大者，所以M(a)＝所以当a＝时，M(a)取得最小值.故选B.
二、多项选择题
9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
答案：ABC
解析：对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，故A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，故B错误；对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，故C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x10，则y＝－f(x)在R上为减函数，故D正确．故选ABC.
10．已知函数f(x)满足f＝，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为{x|x≠－1}
B．f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
D．不等式f(x)＞2的解集为(－1，0)
答案：BCD
解析：由于f＝＝，故f(x)＝＝1＋(x≠0且x≠－1)，所以f(x)的定义域为{x|x≠－1，且x≠0}，作出其图象，由图象知，f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}，A错误，B正确；f(x)在(0，＋∞)上单调递减，C正确；f(x)＞2的解集为(－1，0)，D正确．故选BCD.
11．一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是(　　)
A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2
B．函数f(x)＝1＋存在“跟随区间”
C．若函数f(x)＝m－存在“跟随区间”，则m∈
D．二次函数f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”
答案：ACD
解析：对于A，由已知可得函数f(x)在区间[1，b]上单调递增，则有f(b)＝b2－2b＋2＝b，解得b＝2或b＝1(舍去)，所以b＝2，A正确；对于B，若f(x)存在“跟随区间”[a，b](a三、填空题
12．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
答案：
解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，当t＝，即x＝时，y取得最大值.
13．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
答案：[0，1)
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图实线部分所示，根据图象可知，函数g(x)的单调递减区间是[0，1)．
14．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
答案：0　2－3
解析：∵f(－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时取等号，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，f(x)＝lg (x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时取等号，此时f(x)min＝0.综上，f(x)的最小值为2－3.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1，2]上的最值．
解：(1) x1，x2∈[1，2]，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝，
∵x1，x2∈[1，2]，
∴x2－3<0，x1－3<0，x1x2－3(x1＋x2)<0，
又x10，
∴<0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，2]上为减函数．
(2)由(1)知f(x)在[1，2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，
f(x)max＝f(1)＝＝－.
16．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f(a)f(b)＝f(a＋b)．当x<0时，f(x)>1，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值，并证明当x>0时，0(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(2)＝，求不等式f(5t2－6t)>的解集．
解：(1)令a＝b＝0，则[f(0)]2＝f(0)，
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
证明：当x>0时，－x<0，所以f(－x)>1，
又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，
所以f(x)＝，所以0(2)令x1则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)f(x2)－f(x2)
＝f(x2)[f(x1－x2)－1]，
又x1所以f(x1－x2)>1，
所以f(x1－x2)－1>0，
又当x<0时，f(x)>1，当x>0时，0所以f(x)>0，所以f(x2)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递减．
(3)因为f(2)＝，
所以f(8)＝f(2)f(6)＝f(2)f(2)f(4)＝[f(2)]4＝，
所以f(5t2－6t)>＝f(8)，
由(2)知f(x)在R上单调递减，
所以5t2－6t<8，解得－所以不等式f(5t2－6t)>的解集为.
1

展开更多......

收起↑