资源简介

第3练　函数的奇偶性、周期性、对称性（原卷版）
一、单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝lg x B．y＝
C．y＝＋ D．y＝
2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－2
4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5．已知函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
6．已知函数f(x)＝2x－(x∈R)，则f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝2对称
B．关于点(2，0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
7．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为(　　)
A．e B．2
C．2 D．2e
8．(2025·山东青岛模拟) x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
二、多项选择题
9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　)
A．g(x)＝lg
B．g(x)＝3x－3－x
C．g(x)＝＋
D．g(x)＝ln (＋x)
10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝ex－3＋e3－x
C．f(x)＝x4－18x2
D．f(x)＝|x2－6x|
11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C． x∈R，f(f(x))＝2024
D．f(x)的最小正周期为1
三、填空题
12．(2024·浙江金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m的值是________．
13．(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则a＋b＝________．
14．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则函数g(x)图象的对称中心坐标为________，y1＋y2＋…＋y6＝________．
四、解答题
15．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
第3练　函数的奇偶性、周期性、对称性（解析版）
一、单项选择题
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝lg x B．y＝
C．y＝＋ D．y＝
答案：C
解析：函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝的定义域为R，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝＋的定义域为R，则f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C.
2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
答案：C
解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为3，且f(－1)＝2，则f(2026)＝f(1＋675×3)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C.
3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．0 D．－2
答案：B
解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B.
4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：C
解析：解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C.
解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C.
5．已知函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
答案：D
解析：函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－＋3＋sinx＋x3＋＋3＝－sinx－x3－＋sinx＋x3＋＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.
6．已知函数f(x)＝2x－(x∈R)，则f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝2对称
B．关于点(2，0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
答案：B
解析：f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B.
7．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为(　　)
A．e B．2
C．2 D．2e
答案：B
解析：因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2.故选B.
8．(2025·山东青岛模拟) x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
答案：B
解析：由题意知， x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，令x＝－1，则f(－1)＋f(2)＝1－f(－1)f(2)，所以f(2)＝1，显然当f(x)＝－1时，－1＋f(x＋3)＝1＋f(x＋3)不成立，故f(x)≠－1，故f(x＋3)＝，则f(x＋6)＝＝f(x)，即6为函数f(x)的周期，则f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝1.故选B.
二、多项选择题
9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　)
A．g(x)＝lg
B．g(x)＝3x－3－x
C．g(x)＝＋
D．g(x)＝ln (＋x)
答案：BD
解析：因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln (－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝0，D符合题意．故选BD.
10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x＋
B．f(x)＝ex－3＋e3－x
C．f(x)＝x4－18x2
D．f(x)＝|x2－6x|
答案：BD
解析：若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD.
11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C． x∈R，f(f(x))＝2024
D．f(x)的最小正周期为1
答案：BCD
解析：对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，若x不为整数，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2024·浙江金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m的值是________．
答案：1
解析：由题意得，f＝f＝＋2×＋m＝－＋m，f＝＝，所以＝－＋m，解得m＝1.
13．(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则a＋b＝________．
答案：1
解析：若函数f(x)是R上的偶函数，则有即解得当时，f(x)＝f(0)＝0，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x3＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x3－2x＝f(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，符合题意，则a＋b＝2－1＝1.
14．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则函数g(x)图象的对称中心坐标为________，y1＋y2＋…＋y6＝________．
答案：(0，2)　12
解析：∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，2)对称，又g(x)＝＝＋2，其图象也关于点(0，2)对称，∴两函数图象的交点关于点(0，2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
四、解答题
15．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－2－x，
又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝＋2－x.
综上所述，f(x)＝
(2)因为f(x)为R上的单调函数，且f(－1)＝＞f(0)＝0，
所以函数f(x)在R上单调递减．
因为f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．
因为函数f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)．
又f(x)在R上单调递减，
所以t2－2t＞k－2t2对任意的t∈R恒成立，
所以3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立，
所以Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－，
所以实数k的取值范围为.
16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
15

展开更多......

收起↑