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数学
第4练　二次函数与幂函数（原卷版）
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上(　　)
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
2．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：①是偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x－2
C．y＝x3 D．y＝x
3．如图所示是函数y＝x(m，n均为正整数，且m，n互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且＜1
B．m是偶数，n是奇数，且＜1
C．m是偶数，n是奇数，且＞1
D．m，n是奇数，且＞1
4．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D.
5．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0，4] B.
C. D.
7．若0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
二、多项选择题
9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0，3)
C．图象的顶点是(－2，－2)
D．图象过点(3，0)
10．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列函数中，与函数f(x)＝x4是“亲密函数”的是(　　)
A．y＝x B．y＝2|x|－1
C．y＝ D．y＝
11．已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的是(　　)
A．f(－32)＝
B．f(x)的定义域是R
C．f(x)是偶函数
D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]
三、填空题
12．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________．
13．(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x5＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)>0，则x的取值范围是________．
14．(2025·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．
四、解答题
15．现有三个条件：①对任意的x∈R，都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
16．设二次函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＋b＋c＝0，f(1)f(0)＞0.
(1)求证：方程f(x)＝0有实根；
(2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实数根，求|x1－x2|的取值范围．
第4练　二次函数与幂函数（解析版）
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上(　　)
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
答案：A
解析：因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3的图象为开口向下的抛物线，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选A.
2．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：①是偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x－2
C．y＝x3 D．y＝x
答案：B
解析：对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合题意；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合题意；同理可判断C，D中的函数不符合题意．故选B.
3．如图所示是函数y＝x(m，n均为正整数，且m，n互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数且＜1
B．m是偶数，n是奇数，且＜1
C．m是偶数，n是奇数，且＞1
D．m，n是奇数，且＞1
答案：B
解析：由幂函数的性质可知，y＝x与y＝x的图象恒过点(1，1)，即在第一象限的交点为(1，1)，当0＜x＜1时，x＞x，则＜1，又y＝x的图象关于y轴对称，∴y＝x为偶函数，∴(－x) ＝＝x＝，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．故选B.
4．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D.
答案：B
解析：由题意知b>0，a≠0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象不关于y轴对称，故排除第一、二个函数图象，当a>0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－<0，故第四个图象也不满足题意，当a<0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－>0，开口向下，故第三个函数图象满足题意．此时函数图象过坐标原点，故a2－1＝0，解得a＝±1，由于a<0，故a＝－1.故选B.
5．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
答案：B
解析：因为f(x)>0的解集为(－1，3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以解得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1，0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，所以m≥4.故选B.
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0，4] B.
C. D.
答案：D
解析：二次函数图象的对称轴为直线x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈.
7．若0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：若满足条件f≤(08．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
答案：B
解析：解法一：当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当22时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当02时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得a≤1，所以02时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得a≥－2，所以－2≤a<0.综上，a的取值范围是[－2，1]．故选B.
解法二：f(x)＝x|x－a|－2a2(x>2)．当x≥a时，f(x)＝x2－ax－2a2，令g(a)＝－2a2－xa＋x2，因为Δ＝x2＋8x2＝9x2>0，所以－2a2－xa＋x2>0，解得－x2，所以－2≤a≤1；当x0不成立，不符合题意．综上，a的取值范围为[－2，1]．故选B.
二、多项选择题
9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0，3)
C．图象的顶点是(－2，－2)
D．图象过点(3，0)
答案：ABD
解析：易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段的长度为2，A，D正确；将x＝0代入二次函数的解析式，得y＝3a，故B可能正确；图象顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.
10．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列函数中，与函数f(x)＝x4是“亲密函数”的是(　　)
A．y＝x B．y＝2|x|－1
C．y＝ D．y＝
答案：ABD
解析：易知函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，选项中四个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与函数f(x)＝x4保持一致，但是y＝＝1－的值域为[0，1)，y＝x＝≥0，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0.故选ABD.
11．已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的是(　　)
A．f(－32)＝
B．f(x)的定义域是R
C．f(x)是偶函数
D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]
答案：ACD
解析：幂函数f(x)＝xm，∴m＋＝1，∴m＝－，∴f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B错误；∵f(－32)＝(－32)－＝，A正确；f(x)＝x－＝，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；∵f(x)＝x－，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是偶函数，∴不等式f(x－1)≥f(2)等价于f(|x－1|)≥f(2)，∴解得－1≤x<1或1三、填空题
12．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________．
答案：
解析：设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－，因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
13．(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x5＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)>0，则x的取值范围是________．
答案：(－1，＋∞)
解析：因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)5＋(－x)＝－x5－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，因为函数y＝x5和y＝x都在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，由f(2x－1)＋f(2－x)>0，可得f(2x－1)>－f(2－x)＝f(x－2)，则2x－1>x－2，解得x>－1，即x的取值范围是(－1，＋∞)．
14．(2025·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．
答案：　
解析：若c＝0，当x∈[－2，0]时，f(x)∈，当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为.作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当x2＋x＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1.
四、解答题
15．现有三个条件：①对任意的x∈R，都有f(x＋1)－f(x)＝2x－2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．
解：(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2，
即2(a－1)x＋a＋b＋2＝0对任意的x恒成立，
所以解得
条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x|1所以解得且a>0.
条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)，所以9a＋3b＋c＝2.
若选择条件①②，则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.
若选择条件①③，则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.
若选择条件②③，则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.
(2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其图象的对称轴为直线x＝，
(ⅰ)当≤1，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m＝－3，
(ⅱ)当≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－(舍去)，
(ⅲ)当1<<2，即－1综上所述，实数m的值为－3.
16．设二次函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c.若a＋b＋c＝0，f(1)f(0)＞0.
(1)求证：方程f(x)＝0有实根；
(2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实数根，求|x1－x2|的取值范围．
解：(1)证明：∵a＋b＋c＝0，∴f(x)＝3ax2＋2bx＋c中，
Δ＝4b2－12ac＝4b2＋12a(a＋b)＝12＝12≥0，
∴方程f(x)＝0有实根．
(2)|x1－x2|＝
＝.
∵f(1)f(0)＞0，∴c(3a＋2b＋c)＞0，
又a＋b＋c＝0，∴(a＋b)(2a＋b)＜0，
又a2＞0，∴＜0，
∴－2＜＜－1.
设g(x)＝x2＋3x＋3，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴|x1－x2|∈.
13

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