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数学
第5练　指数与指数函数（原卷版）
一、单项选择题
1．化简(a>0，c<0)的结果为(　　)
A．± B．－
C．－ D.
2．(2025·陕西商洛模拟)已知集合A＝{x|1<2x－1<}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝(　　)
A．{x|1≤x≤2} B.
C. D.
3．函数y＝的图象大致是(　　)
4．(2024·安徽滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　)
A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)
C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]
5．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津、健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：≈1.26，≈1.59)(　　)
A．30.24元/千克 B．33.84元/千克
C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
6．设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
7．已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
8．当0＜x＜时，方程ax＝(a＞0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(4，＋∞)
C. D.
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝a·＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y)
D．f(x)的值域为[0，2)
10．(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)单调递增
B．函数f(x)的值域为(0，2)
C．函数f(x)的图象关于点(0，1)对称
D．函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1三、填空题
12．函数f(x)＝的定义域是________．
13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
16．(2025·广东肇庆模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1，10)，B(2，50)．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的不等式bx－≥m＋3在[－2，2]上有解，求m的取值范围．
第5练　指数与指数函数（解析版）
一、单项选择题
1．化简(a>0，c<0)的结果为(　　)
A．± B．－
C．－ D.
答案：B
解析：原式＝＝＝·＝－.故选B.
2．(2025·陕西商洛模拟)已知集合A＝{x|1<2x－1<}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝(　　)
A．{x|1≤x≤2} B.
C. D.
答案：A
解析：因为A＝＝，B＝{x|－x2＋3x－2≥0}＝{x|1≤x≤2}，所以A∪B＝{x|1≤x≤2}．故选A.
3．函数y＝的图象大致是(　　)
答案：D
解析：因为y＝＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，所以D正确．故选D.
4．(2024·安徽滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　)
A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)
C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]
答案：C
解析：函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，可得a－2<0，即a<2；函数g(x)＝＝在(0，＋∞)上单调递减，可得0<<1，解得05．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津、健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：≈1.26，≈1.59)(　　)
A．30.24元/千克 B．33.84元/千克
C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
答案：C
解析：由题意可知＝e3a＝2，ea＝，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×≈38.16.故选C.
6．设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·＝·3b<×3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为.故选A.
7．已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
答案：A
解析：函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又＜2－＜＜1，所以f＜f＜f，所以b＞c＞a.故选A.
8．当0＜x＜时，方程ax＝(a＞0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(4，＋∞)
C. D.
答案：B
解析：依题意，当x∈时，y＝ax与y＝的图象有交点，作出y＝，0二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝a·＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y)
D．f(x)的值域为[0，2)
答案：ABD
解析：∵f(x)＝a·＋b的图象过原点，∴a·＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正确；由f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则b＝2，又a＋b＝0，则a＝－2，则f(x)＝－2·＋2，其定义域为R，∵f(－x)＝－2·＋2＝f(x)，则f(x)是偶函数，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，x＋y＝0，故B正确；∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴当x＜y＜0时，f(x)＞f(y)，故C错误；∵0<≤1，∴－2≤－2·<0，∴0≤－2·＋2＜2，∴f(x)的值域为[0，2)，故D正确．故选ABD.
10．(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)单调递增
B．函数f(x)的值域为(0，2)
C．函数f(x)的图象关于点(0，1)对称
D．函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
答案：ABD
解析：f(x)＝＝＝2－，函数y＝2－，t＝2x－1＋1，则t>1，又内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1>1，所以0<<2，则0<2－<2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确．故选ABD.
11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1答案：ABD
解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)三、填空题
12．函数f(x)＝的定义域是________．
答案：(－∞，－1]
解析：若使函数f(x)＝有意义，自变量x须满足－2≥0，解得x∈(－∞，－1]，故函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]．
13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
答案：(1，＋∞)　f(－4)>f(1)
解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．
14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
答案：(－∞，－18]
解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．
当x>0时，要使f(x)>0，则x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又x>0，
∴a>1.
∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．
16．(2025·广东肇庆模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1，10)，B(2，50)．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的不等式bx－≥m＋3在[－2，2]上有解，求m的取值范围．
解：(1)由函数f(x)＝b·ax的图象经过点A(1，10)，B(2，50)，
得解得
(2)由(1)知a＝5，b＝2，
因为函数y＝bx＝2x在[－2，2]上单调递增，函数y＝＝在[－2，2]上单调递减，
所以g(x)＝bx－在[－2，2]上单调递增，
所以g(x)在[－2，2]上的最大值为g(2)＝22－＝，
因为关于x的不等式bx－≥m＋3在[－2，2]上有解，
所以m＋3≤，解得m≤，
即m的取值范围为.
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